1. Nombre fixé
Le nombre n d’épreuves est connu avant l’expérience.
Probabilités Terminale — méthode et exercices
Loi binomiale Terminale : méthode et exercices corrigés
Avant toute formule, vérifie le modèle : un nombre fixe d'épreuves, deux issues, une même probabilité de succès et des répétitions indépendantes.
La page te guide ensuite pour définir X, traduire exactement / au plus / au moins et choisir le calcul le plus court.
Reconnaître une situation binomiale avant de calculer
Une épreuve de Bernoulli possède deux issues : succès et échec. Un schéma de Bernoulli répète cette même épreuve n fois de façon indépendante. La loi binomiale décrit alors le nombre de succès.
2. Deux issues
Chaque épreuve est classée en succès ou échec.
3. Même probabilité
La probabilité p du succès reste constante.
4. Indépendance
Le résultat d’une épreuve ne modifie pas les autres dans le modèle.
Définir X sans ambiguïté
Écris par exemple : « X compte le nombre de pièces défectueuses parmi les 20 contrôlées. » Si les quatre conditions sont vérifiées et si la probabilité d'une pièce défectueuse vaut p, alors X suit B(20 ; p).
Calculer P(X=k)
P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ
Cette formule s'emploie pour n∈ℕ, p∈[0 ; 1] et k∈{0, …, n}.
- C(n,k) compte les choix des k positions de succès.
- pᵏ est la probabilité portée par les k succès.
- (1−p)ⁿ⁻ᵏ correspond aux n−k échecs.
Le coefficient binomial vient du dénombrement : plusieurs listes de succès et d'échecs conduisent à la même valeur X=k.
« Exactement », « au plus », « au moins »
Traduis la phrase avant de toucher à la calculatrice. L'égalité ou l'inégalité détermine les valeurs à additionner.
| Expression | Événement | Valeurs incluses |
|---|---|---|
| Exactement k | X = k | La seule valeur k |
| Au plus k | X ≤ k | 0, 1, …, k |
| Au moins k | X ≥ k | k, k+1, …, n |
| Strictement plus de k | X > k | k+1, …, n |
| Entre a et b, bornes comprises | a ≤ X ≤ b | a, a+1, …, b, avec a et b entiers et 0≤a≤b≤n |
Le complément pour raccourcir le calcul
L'événement contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Ainsi P(X≥1)=1−P(X=0). Le complément est intéressant quand il remplace une longue somme par un ou deux termes ; il faut toujours écrire l'événement contraire avant la formule.
Espérance d’une loi binomiale
Si X suit B(n ; p), alors E(X)=np. Cette valeur représente le nombre moyen de succès par série lorsqu'on répète un grand nombre de fois le schéma complet.
Avec n=20 et p=0,15, E(X)=3. Cela ne signifie pas que chaque série produit exactement trois succès ; c'est une moyenne théorique sur de nombreuses séries.
Calculatrice : raisonner avant de saisir
- 1Définir le succès et la variable X.
- 2Justifier le modèle et identifier n puis p.
- 3Traduire la phrase en X=k, X≤k, X≥k ou intervalle.
- 4Choisir une probabilité ponctuelle, cumulée ou un complément.
- 5Saisir n, p et les bornes dans la fonction binomiale de la calculatrice.
- 6Annoncer l’arrondi et rédiger une conclusion en français.
Les menus changent selon les modèles : cherche une fonction de probabilité binomiale pour X=k et une fonction cumulée pour X≤k. Le raisonnement écrit reste indépendant de la marque.
Cinq exercices corrigés de loi binomiale
Exercice 1 — reconnaître le modèle
Contrôle de composants
Question : On contrôle 12 composants produits dans les mêmes conditions. Chaque composant a une probabilité 0,02 d’être défectueux et les contrôles sont modélisés comme indépendants. On note X le nombre de composants défectueux.
Piège à éviter
Écrire une loi binomiale sans citer l’indépendance ni préciser ce que compte X.
Méthode
Le succès est « le composant est défectueux ». On a un nombre fixe n=12 d’épreuves à deux issues, indépendantes, avec la même probabilité p=0,02. X compte les succès.
Calcul
n = 12
p = 0,02
X compte les composants défectueux
X suit B(12 ; 0,02)
Pourquoi cette méthode ?
Les quatre conditions du schéma de Bernoulli sont explicitement réunies avant toute formule.
Réponse
La variable X suit la loi binomiale B(12 ; 0,02).
Exercice 2 — exactement k
Calculer P(X=2)
Question : X suit la loi binomiale B(5 ; 0,3). Calculer P(X=2).
Piège à éviter
Oublier C(5,2), qui compte les positions possibles des deux succès.
Méthode
Ici n=5, p=0,3 et X compte les succès. « Exactement 2 » se traduit par X=2.
Calcul
P(X=2) = C(5,2) × 0,3² × 0,7³
P(X=2) = 10 × 0,09 × 0,343
P(X=2) = 0,3087
Pourquoi cette méthode ?
La formule associe le choix des deux positions de succès, leurs probabilités et celles des trois échecs.
Réponse
La probabilité d’obtenir exactement deux succès est 0,3087, soit 30,87 %.
Exercice 3 — au moins
Calculer P(X≥3)
Question : X suit la loi binomiale B(4 ; 0,6). Calculer la probabilité d’obtenir au moins trois succès.
Piège à éviter
Lire « au moins 3 » comme X≤3 ou oublier le cas X=4.
Méthode
Ici n=4, p=0,6 et X compte les succès. « Au moins 3 » signifie X≥3, donc les cas 3 et 4.
Calcul
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4)
P(X≥3) = 4 × 0,6³ × 0,4 + 0,6⁴
P(X≥3) = 0,3456 + 0,1296 = 0,4752
Pourquoi cette méthode ?
Les valeurs possibles supérieures ou égales à 3 sont seulement 3 et 4 puisque n=4.
Réponse
La probabilité d’obtenir au moins trois succès est 0,4752, soit 47,52 %.
Exercice 4 — complément
Obtenir au moins un succès
Question : X suit la loi binomiale B(10 ; 0,1). Calculer P(X≥1).
Piège à éviter
Additionner dix probabilités alors que le complément ne demande qu’un seul calcul.
Méthode
Ici n=10, p=0,1 et X compte les succès. Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ».
Calcul
P(X≥1) = 1 − P(X=0)
P(X≥1) = 1 − 0,9¹⁰
P(X≥1) ≈ 0,6513
Pourquoi cette méthode ?
Le complément remplace la somme P(X=1)+…+P(X=10) par le seul cas X=0.
Réponse
La probabilité d’obtenir au moins un succès est environ 0,6513, soit 65,13 %.
Exercice 5 — problème contextualisé
Interpréter une probabilité cumulée
Question : Pour chacun de 20 visiteurs, une entreprise modélise le fait d’effectuer ou non un achat, indépendamment, avec une probabilité 0,15. On note X le nombre de visiteurs qui effectuent un achat. Calculer la probabilité d’en compter au plus deux.
Piège à éviter
Donner un nombre décimal sans rappeler le modèle ni traduire « au plus ».
Méthode
Le nombre d’essais est n=20, la probabilité de succès est p=0,15 et X compte les visiteurs qui achètent. Ainsi X suit B(20 ; 0,15) et « au plus 2 » signifie X≤2.
Calcul
P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X≤2) = 0,85²⁰ + 20×0,15×0,85¹⁹ + C(20,2)×0,15²×0,85¹⁸
P(X≤2) ≈ 0,4049
Pourquoi cette méthode ?
La conclusion nomme l’événement, le groupe étudié et le caractère approché du calcul.
Réponse
Selon ce modèle, la probabilité qu’au plus deux des 20 visiteurs effectuent un achat est d’environ 40,49 %.
Erreurs fréquentes
- • Utiliser la loi binomiale alors que les répétitions ne sont pas indépendantes.
- • Choisir p pour l’échec alors que X compte les succès, ou inversement.
- • Oublier le coefficient binomial C(n,k) dans P(X=k).
- • Confondre « au moins » avec ≤ et « au plus » avec ≥.
- • Définir X de façon vague sans dire exactement ce qu’elle compte.
- • Donner un résultat décimal sans phrase d’interprétation ni arrondi annoncé.
Checklist loi binomiale
- Le nombre n d’épreuves est fixé à l’avance.
- Chaque épreuve possède deux issues : succès ou échec.
- La probabilité p du succès reste la même à chaque épreuve.
- Les répétitions sont indépendantes dans le modèle.
- J’ai défini X comme le nombre de succès.
- J’ai traduit les mots de la question en événement mathématique.
- J’ai choisi entre formule, somme de valeurs et complément.
- J’ai annoncé l’arrondi et interprété le résultat dans le contexte.
Continuer les probabilités
Le bon ordre sur une copie
Justifier le modèle, définir X, écrire X~B(n ; p), traduire l'événement, calculer, puis conclure. La calculatrice intervient seulement à l'avant-dernière étape.
Faire d’autres exercices de probabilitésQuestions fréquentes
Comment reconnaître une loi binomiale ?
On vérifie un nombre fixe n de répétitions indépendantes d’une même épreuve à deux issues, avec une probabilité de succès p constante. Si X compte le nombre de succès, alors X suit B(n ; p).
Quelle formule utiliser pour P(X=k) ?
Si X suit B(n ; p), alors P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k), pour un entier k compris entre 0 et n.
Que signifie « au moins k » ?
« Au moins k » signifie X≥k : la valeur k est incluse. Selon les nombres, on additionne les probabilités de k à n ou on utilise le complément 1−P(X≤k−1).
Quand utiliser le complément ?
Le complément est utile lorsqu’il remplace une longue somme par peu de valeurs. Par exemple, P(X≥1)=1−P(X=0). Il faut d’abord écrire clairement l’événement contraire.
Comment interpréter E(X)=np ?
Sur un grand nombre de répétitions du schéma complet, le nombre moyen de succès par série est proche de np. Ce n’est pas une garantie sur une série particulière et np n’est pas nécessairement entier.