Terminale spécialité maths — Bac 2027
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Exercice corrigé gratuit
Un exercice complet à chercher au brouillon : dérivée, variations, équation, convexité et tangente. Lis les quatre questions, cherche, puis compare avec la correction rédigée. C’est un exercice original SprintMaths, écrit dans l’esprit d’un exercice de bac ; ce n’est pas une annale officielle.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4] par f(x) = (x + 2)e⁻ˣ.
À lire seulement si tu restes bloqué sur une question.
f est dérivable sur [0 ; 4] comme produit de fonctions dérivables. On pose u(x) = x + 2 et v(x) = e⁻ˣ, donc u′(x) = 1 et v′(x) = −e⁻ˣ.
f′(x) = 1 × e⁻ˣ + (x + 2) × (−e⁻ˣ) = (1 − x − 2)e⁻ˣ = −(x + 1)e⁻ˣ.
Sur [0 ; 4], x + 1 > 0 et e⁻ˣ > 0, donc f′(x) < 0 : f est strictement décroissante sur [0 ; 4].
Aux bornes : f(0) = 2 et f(4) = 6e⁻⁴ ≈ 0,11.
| x | 0 | entre 0 et 4 | 4 |
|---|---|---|---|
| Signe de f′(x) | négatif | ||
| Variations de f | 2 | strictement décroissante | 6e⁻⁴ ≈ 0,11 |
f est continue sur [0 ; 4], car elle y est dérivable, et elle y est strictement décroissante.
f(0) = 2 et f(4) = 6e⁻⁴ ≈ 0,11 : le nombre 1 est compris entre f(4) et f(0).
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 1 admet une unique solution α dans [0 ; 4]. Comme f(0) ≠ 1 et f(4) ≠ 1, α appartient à ]0 ; 4[.
À la calculatrice, f(1,14) ≈ 1,0042 et f(1,15) ≈ 0,9974. Puisque f est décroissante, 1,14 < α < 1,15.
Ces valeurs sont des arrondis : on écrit un encadrement de α, pas une égalité.
On dérive f′(x) = −(x + 1)e⁻ˣ, qui est encore un produit : f″(x) = −e⁻ˣ + (x + 1)e⁻ˣ = xe⁻ˣ.
Sur [0 ; 4], x ≥ 0 et e⁻ˣ > 0, donc f″(x) ≥ 0 : f est convexe sur [0 ; 4].
f″ s’annule en 0, mais 0 est une borne de l’intervalle et f″ ne change pas de signe sur [0 ; 4] : on ne conclut à aucun point d’inflexion sur cet intervalle.
T a pour équation y = f′(0)(x − 0) + f(0). Or f′(0) = −1 et f(0) = 2, donc T : y = 2 − x.
f est convexe sur [0 ; 4] : sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle, en particulier de T. Donc f(x) ≥ 2 − x pour tout x de [0 ; 4].
2 − x est une approximation affine de f(x) près de 0, pas une égalité : f(1) = 3e⁻¹ ≈ 1,10 alors que 2 − 1 = 1, et f(4) ≈ 0,11 alors que 2 − 4 = −2. L’écart grandit quand x s’éloigne de 0.
Erreur fréquente
Dériver e⁻ˣ en e⁻ˣ. On obtiendrait f′(x) = (x + 3)e⁻ˣ, toujours positive, donc une fonction croissante : impossible, puisque f(0) = 2 et f(4) ≈ 0,11. La dérivée de e⁻ˣ est −e⁻ˣ.
Réflexe de vérification
Contrôle ton tableau de variations avec deux valeurs calculées : ici f(0) = 2 et f(4) ≈ 0,11 confirment la décroissance.
Exercice corrigé gratuit
Un second exercice complet, centré sur une fonction rationnelle : limites, dérivée, minimum, équation et tangente. Cherche chaque question au brouillon, ouvre l’indice seulement si tu bloques, puis compare avec la correction rédigée. C’est un exercice original SprintMaths, écrit dans l’esprit d’un exercice de bac ; ce n’est pas une annale officielle.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = x + 4/x. On note C sa courbe représentative dans un repère.
Un indice par question, à ouvrir seulement si tu restes bloqué.
En 0, regarde le terme 4/x : son dénominateur tend vers 0 en restant positif. En +∞, compare chaque terme de la somme.
La dérivée de x ↦ 1/x est x ↦ −1/x². Mets ensuite 1 − 4/x² au même dénominateur et factorise x² − 4.
Comme x > 0, tu peux multiplier les deux membres par x : tu obtiens une équation du second degré.
Utilise y = f′(1)(x − 1) + f(1). Pour la position, écris f(x) − (−3x + 8) avec un seul dénominateur et étudie son signe.
En 0 à droite : x tend vers 0 et, comme x reste positif, 4/x tend vers +∞. Par somme, f(x) tend vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives.
En +∞ : x tend vers +∞ et 4/x tend vers 0. Par somme, f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
Interprétation : l’axe des ordonnées, d’équation x = 0, est asymptote verticale à la courbe C.
f est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme somme de fonctions dérivables. La dérivée de x est 1 et celle de 4/x est 4 × (−1/x²) = −4/x².
Donc f′(x) = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x² = (x − 2)(x + 2)/x².
Sur ]0 ; +∞[, x² > 0 et x + 2 > 0 : f′(x) a le signe de x − 2. Ainsi f′(x) < 0 sur ]0 ; 2[, f′(2) = 0 et f′(x) > 0 sur ]2 ; +∞[.
f est strictement décroissante sur ]0 ; 2] puis strictement croissante sur [2 ; +∞[. Elle admet donc un minimum en 2, égal à f(2) = 2 + 4/2 = 4.
Contrôle facultatif : f″(x) = 8/x³ > 0 sur ]0 ; +∞[, donc f est convexe, ce qui est cohérent avec un minimum atteint là où f′ s’annule.
| x | 0 | entre 0 et 2 | 2 | entre 2 et +∞ | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de f′(x) | valeur interdite | négatif | 0 | positif | |
| Variations de f | +∞ | strictement décroissante | 4 (minimum) | strictement croissante | +∞ |
On cherche x > 0 tel que x + 4/x = 5. Comme x > 0, x n’est pas nul : en multipliant les deux membres par x, l’équation équivaut à x² + 4 = 5x, soit x² − 5x + 4 = 0.
Discriminant : Δ = (−5)² − 4 × 1 × 4 = 9 > 0. Les racines sont (5 − 3)/2 = 1 et (5 + 3)/2 = 4.
Les deux racines appartiennent à ]0 ; +∞[ : l’ensemble des solutions est S = {1 ; 4}. Vérification : f(1) = 1 + 4 = 5 et f(4) = 4 + 1 = 5.
Cohérence avec la question 2 : 5 est supérieur au minimum 4, et on trouve bien une solution de chaque côté de 2.
T a pour équation y = f′(1)(x − 1) + f(1). Or f(1) = 5 et f′(1) = 1 − 4 = −3, donc T : y = −3(x − 1) + 5 = −3x + 8.
Pour x > 0 : f(x) − (−3x + 8) = 4x + 4/x − 8 = (4x² − 8x + 4)/x = 4(x − 1)²/x.
Sur ]0 ; +∞[, 4(x − 1)² ≥ 0 et x > 0 : la différence est positive ou nulle. La courbe C est au-dessus de T, et elle ne la touche qu’au point A(1 ; 5), car la différence ne s’annule qu’en x = 1.
Erreur fréquente : la dérivée de 4/x
Écrire que la dérivée de 4/x est 4/x². La dérivée de 1/x est −1/x², donc celle de 4/x est −4/x². Avec le mauvais signe, on obtiendrait f′(x) = 1 + 4/x² > 0, donc f croissante : impossible, puisque f(1) = 5 et f(2) = 4.
Erreur fréquente : multiplier par x sans le justifier
On multiplie par x seulement parce que x > 0 sur le domaine : x n’est pas nul et l’équation obtenue reste équivalente. Écris cette justification, puis vérifie que chaque racine appartient bien au domaine.
Erreur fréquente : confondre tangente et courbe
T approche C seulement près du point d’abscisse 1. En x = 4, T donne y = −3 × 4 + 8 = −4 alors que f(4) = 5 : on ne remplace pas f par sa tangente loin du point de contact.
Réflexe de vérification
Calcule quelques valeurs pour contrôler ton tableau : f(0,5) = 8,5 ; f(1) = 5 ; f(2) = 4 ; f(4) = 5 ; f(8) = 8,5. Elles diminuent jusqu’à x = 2 puis augmentent, comme prévu.
Blocage courant
Beaucoup d'élèves connaissent une partie du cours, mais ne savent pas comment démarrer un exercice type bac maths Terminale. Ils reconnaissent parfois les formules, sans voir quelle méthode choisir au premier brouillon.
Les corrections classiques sautent souvent des étapes : elles montrent le résultat, mais pas toujours le chemin pour y arriver. Au bac, il faut reconnaître rapidement le chapitre, poser les données utiles et justifier chaque conclusion.
L'objectif de SprintMaths est donc de s'entraîner à raisonner : comprendre la méthode, avancer étape par étape, puis vérifier que la réponse répond bien à la question.
Savoir comment commencer avant de calculer.
Reconnaître la méthode attendue dans un sujet type bac maths Terminale.
Éviter de lire une correction sans savoir la refaire.
Transformer un chapitre fragile en réflexes utilisables.
Sujet type bac guidé complet — démo
Voici un aperçu de l’expérience SprintMaths : tu ne reçois pas seulement une correction finale, tu avances par étapes avec la méthode, les indices et les erreurs à éviter.
Suite définie par récurrence :
u_0 = 2
u_{n+1} = 0,5u_n + 3
Objectif : montrer que la suite converge vers 6.
Le réflexe SprintMaths : trouver le point fixe, mesurer l’écart à ce point, puis reconnaître une suite géométrique.
Indices progressifs
Méthode
Pour une suite récurrente affine, chercher le point fixe permet souvent de transformer l’écart en suite géométrique.
Erreur fréquente
Ne pas confondre v_n = 6 - u_n avec v_n = u_n - 6 : ici v_0 = 4, ce qui garde des termes positifs.
Cette démo est un entraînement type bac SprintMaths. Elle n'est pas présentée comme une annale officielle.
Donne le résultat et laisse souvent l’élève retrouver seul pourquoi cette méthode fonctionne.
Montre la méthode, les étapes, les pièges et la logique pour apprendre à refaire un raisonnement similaire.
Le pack débloque les exercices guidés complets. Pour explorer d'autres énoncés avant l'offre, la suite naturelle est la page des sujets type bac guidés.
Méthode SprintMaths
Un exercice guidé ne se limite pas à cocher une réponse. Il aide l'élève à comprendre le chemin : identifier la méthode, poser les données, avancer dans les calculs puis conclure.
L'élève identifie le chapitre, la question type et le réflexe utile avant de calculer.
Le raisonnement est découpé en actions courtes : poser les données, calculer, justifier.
La fin de l'exercice relie le résultat à la question posée, comme attendu dans un sujet type bac.
Le pack aide à voir les chapitres travaillés et les priorités de progression.
Programme
Les exercices guidés maths Terminale couvrent les chapitres à maîtriser pour progresser sur des sujets type bac.
Sujets guidés
Après la démo, la suite naturelle est de s'entraîner sur des sujets type bac maths Terminale complets, toujours guidés pour apprendre à démarrer, raisonner et corriger activement.
Ce ne sont pas des annales officielles revendiquées. Le but est d'apprendre à suivre les étapes utiles au lieu de lire seulement le résultat.
Les sujets et exercices couvrent les chapitres clés : suites, limites, dérivation, logarithme, probabilités et géométrie.
Chaque lien renvoie vers un cluster d'exercices corrigés de Terminale pour consolider une méthode avant de revenir sur un sujet complet.
Correction
Une correction classique peut être utile après l'exercice. Mais quand l'élève bloque, il a surtout besoin de savoir quelle étape faire maintenant. SprintMaths met l'accent sur ce raisonnement : comprendre l'étape, justifier le calcul et savoir refaire une démarche similaire.
Pack Révision Express
Le pack rassemble les exercices type bac guidés, les méthodes courtes, la progression, l'accès mobile et le code d'accès automatique après paiement.
Paiement unique
Offres ponctuelles possibles selon la période.
Aucun abonnement. Paiement sécurisé par Stripe si l'offre est ouverte.
SprintMaths propose des exercices et sujets type bac guidés. Ce ne sont pas des annales officielles revendiquées.
Oui. Les exercices sont accompagnés d'une correction guidée étape par étape pour comprendre le raisonnement, pas seulement lire la réponse finale.
Oui. Le contenu vise les élèves de Terminale spécialité maths qui préparent le Bac 2027, avec les chapitres importants du programme de Terminale.
Non. SprintMaths est un outil d'entraînement autonome : il aide à revoir les méthodes, pratiquer et suivre la progression, mais il ne remplace pas un professeur.
Oui. SprintMaths est pensé mobile-first et s'utilise dans le navigateur du téléphone. Ce n'est pas une application native à installer.
Après paiement, un code d'accès est envoyé automatiquement par email. Ce code permet d'ouvrir le Pack Révision Express et de retrouver l'accès ensuite.
Oui. Une garantie 7 jours est prévue si l'accès ne correspond pas aux attentes. Elle ne constitue pas une garantie de note au bac.
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