3 à 5 étapes
Chaque méthode est découpée en actions simples à suivre dans un exercice.
Fiches méthodes Terminale
Méthodes de maths Terminale pour structurer les exercices
Les fiches méthodes SprintMaths donnent des étapes concrètes, une erreur fréquente à éviter et un mini-exemple pour aider l'élève à démarrer ses exercices de Terminale avec plus de méthode.
Erreur fréquente
L'élève repère le piège classique avant de l'appliquer en session.
Mini-exemple
Un exemple court sert de point d'appui sans remplacer l'entraînement complet.
Les méthodes Terminale disponibles
Variations, convexité, logarithme, exponentielle, récurrence, limites, loi binomiale, espérance, intégrales, équation différentielle, vecteurs de l'espace et tableau de signes.
Fonctions
Étudier les variations d'une fonction
Étapes
- 1. Calculer la dérivée f'(x) en utilisant les formules (uv', u/v, etc.).
- 2. Factoriser f'(x) au maximum pour faciliter l'étude de son signe.
- 3. Étudier le signe de chaque facteur de f'(x).
- 4. Construire le tableau de signe de f'(x) et en déduire les variations de f.
- 5. Calculer les limites aux bornes et les valeurs des extremums locaux.
Erreur fréquente
Oublier de vérifier l'ensemble de définition ou faire une erreur de signe en factorisant la dérivée.
Mini-exemple
Si f(x) = x * e^x, alors f'(x) = 1*e^x + x*e^x = e^x(1 + x). Comme e^x > 0, le signe ne dépend que de (1 + x).
Convexité
Étudier la convexité et point d'inflexion
Étapes
- 1. Calculer la dérivée première f'(x).
- 2. Dériver une seconde fois pour obtenir f''(x).
- 3. Étudier le signe de la dérivée seconde f''(x).
- 4. Conclure : f''(x) > 0 => Convexe ; f''(x) < 0 => Concave.
- 5. Le point où f''(x) s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE est l'abscisse du point d'inflexion.
Erreur fréquente
Dire qu'il y a un point d'inflexion juste parce que f''(x) = 0. Il faut impérativement que f''(x) change de signe !
Mini-exemple
f(x) = x³. f'(x) = 3x², f''(x) = 6x. f''(0) = 0 et change de signe en 0. Le point (0,0) est un point d'inflexion.
Logarithme
Résoudre une équation avec ln
Étapes
- 1. DÉTERMINER LE DOMAINE D'ÉTUDE : l'intérieur d'un ln doit toujours être strictement positif (> 0).
- 2. Utiliser les propriétés algébriques pour regrouper les ln : ln(a) + ln(b) = ln(ab), a ln(b) = ln(b^a).
- 3. Obtenir une forme ln(A) = ln(B) ou ln(A) = c.
- 4. En déduire A = B ou A = e^c en utilisant l'exponentielle.
- 5. Résoudre la nouvelle équation et VÉRIFIER que la/les solutions sont dans le domaine d'étude.
Erreur fréquente
Oublier de déterminer l'ensemble de définition au début, ce qui conduit à accepter des solutions impossibles (comme ln(-2)).
Mini-exemple
ln(x) + ln(x-1) = ln(6). Domaine : x > 1. On regroupe : ln(x(x-1)) = ln(6) => x² - x - 6 = 0. Solutions -2 et 3. On ne garde que 3.
Exponentielle
Résoudre avec l'exponentielle
Étapes
- 1. Mettre l'équation ou inéquation sous la forme e^A = e^B ou e^A < e^B.
- 2. Si on a un nombre réel k > 0, l'écrire sous forme exponentielle : k = e^(ln k).
- 3. Utiliser la stricte croissance de l'exponentielle pour 'faire tomber le e' : A = B ou A < B.
- 4. Résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue avec les règles classiques.
- 5. Conclure.
Erreur fréquente
Appliquer le logarithme sur un nombre négatif (ex: e^x = -5 n'a pas de solution, ne pas écrire x = ln(-5) !).
Mini-exemple
e^(2x) > 3 <=> 2x > ln(3) <=> x > ln(3)/2.
Suites
Étudier une suite définie par récurrence
Étapes
- 1. Pour une suite v_n définie en fonction de u_n, exprimer v_{n+1} en fonction de u_{n+1}.
- 2. Remplacer u_{n+1} par sa définition dans l'énoncé.
- 3. Simplifier et essayer de factoriser pour retrouver l'expression de v_n.
- 4. Obtenir v_{n+1} = q * v_n pour prouver qu'elle est géométrique (ou v_{n+1} = v_n + r pour arithmétique).
- 5. En déduire la forme explicite de v_n, puis remonter à u_n.
Erreur fréquente
S'emmêler les pinceaux entre l'indice n et n+1. Ne pas vérifier que sa factorisation est correcte en la redéveloppant.
Mini-exemple
Si v_n = u_n - 3 et u_{n+1} = 2u_n - 3. Alors v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 2u_n - 6 = 2(u_n - 3) = 2v_n.
Limites
Lever une forme indéterminée en l'infini
Étapes
- 1. Remplacer x par l'infini pour identifier si c'est une Forme Indéterminée (FI) du type ∞/∞ ou ∞-∞.
- 2. Si c'est un polynôme ou une fraction rationnelle, factoriser par le terme de plus haut degré en haut et en bas.
- 3. Simplifier la fraction en barrant les termes mis en facteur.
- 4. Utiliser les limites de référence : 1/x, 1/x² tendent vers 0 quand x tend vers l'infini.
- 5. Conclure avec les règles d'opérations sur les limites.
Erreur fréquente
Faire le rapport des termes de plus haut degré sans justifier par une factorisation complète. Oublier de simplifier.
Mini-exemple
(3x² - 1) / (x² + 2) => On factorise x²(3 - 1/x²) / x²(1 + 2/x²) => Les x² s'annulent. Il reste (3-0)/(1+0) = 3.
Loi binomiale
Utiliser la loi binomiale
Étapes
- 1. Justifier le schéma de Bernoulli : 'On répète n fois de manière identique et indépendante une épreuve à deux issues...'
- 2. Définir le succès et sa probabilité p. Définir l'échec et sa probabilité 1-p.
- 3. Déclarer la variable X qui compte le nombre de succès. Dire 'X suit la loi binomiale de paramètres n et p'.
- 4. Utiliser la calculatrice (BinomialPD/CD) ou la formule P(X=k) pour calculer la probabilité demandée.
- 5. Savoir traduire : 'au moins un' => P(X >= 1) = 1 - P(X = 0).
Erreur fréquente
Oublier le coefficient binomial (k parmi n) dans le calcul manuel de P(X=k).
Mini-exemple
On lance 10 dés. Probabilité d'avoir exactement 2 fois un '6' (p=1/6) : P(X=2) = (2 parmi 10) * (1/6)^2 * (5/6)^8.
Variables aléatoires
Calculer et interpréter une espérance
Étapes
- 1. Établir la loi de probabilité de X sous forme de tableau (Valeurs x_i possibles et Probabilités p_i associées).
- 2. Vérifier IMPÉRATIVEMENT que la somme des probabilités p_i est égale à 1.
- 3. Appliquer la formule : E(X) = Somme des (x_i * p_i).
- 4. Pour une loi binomiale, utiliser directement la formule rapide E(X) = n * p.
- 5. Interpréter E(X) : 'Sur un très grand nombre de répétitions, la moyenne de X sera proche de E(X)'.
Erreur fréquente
Additionner uniquement les probabilités, ou oublier de multiplier par la valeur du gain x_i. Attention aux valeurs négatives (pertes).
Mini-exemple
Loi : X=10 avec p=0.2, X=-2 avec p=0.8. E(X) = 10*0.2 + (-2)*0.8 = 2 - 1.6 = 0.4. Gain moyen de 0,40€.
Intégrales
Calculer une intégrale
Étapes
- 1. S'assurer que la fonction f est continue sur l'intervalle [a, b].
- 2. Déterminer une primitive F(x) de la fonction f(x) en s'aidant du tableau des primitives usuelles.
- 3. Noter l'intégrale entre crochets : [F(x)] de a à b.
- 4. Calculer la différence F(b) - F(a). Toujours faire la borne du haut moins la borne du bas.
- 5. Simplifier l'expression numérique pour obtenir la valeur exacte de l'intégrale.
Erreur fréquente
Se tromper de signe en évaluant la borne inférieure : F(b) - F(a). Oublier la parenthèse pour - (F(a)) !
Mini-exemple
Intégrale de 2x de 1 à 3. Primitive de 2x est x². On calcule 3² - 1² = 9 - 1 = 8.
Équations différentielles
Résoudre une équation différentielle y' = ay + b
Étapes
- 1. Mettre l'équation sous la forme standard y' = a*y + b. Bien identifier les réels a et b.
- 2. Citer le cours : 'Les solutions sont les fonctions de la forme f(x) = C*e^(ax) - b/a'.
- 3. Calculer la valeur constante particulière -b/a.
- 4. Écrire la forme générale complète avec la constante réelle C.
- 5. Si une condition initiale y(x_0) = y_0 est donnée, remplacer x par x_0, égaler à y_0, et résoudre l'équation pour trouver la constante C.
Erreur fréquente
Se tromper dans le signe de la constante -b/a. Ex: si y' = 2y - 4, a=2, b=-4, -b/a = -(-4)/2 = 2.
Mini-exemple
y' = -y + 3. a=-1, b=3. Solutions : C*e^(-x) - 3/(-1) = C*e^(-x) + 3.
Géométrie dans l'espace
Équation cartésienne d'un plan
Étapes
- 1. Trouver un vecteur normal n(a,b,c) au plan (soit donné dans l'énoncé, soit par produit scalaire ou produit vectoriel).
- 2. Écrire la forme générale du plan : ax + by + cz + d = 0 avec les coordonnées de n.
- 3. Choisir un point A(x_A, y_A, z_A) qui appartient au plan.
- 4. Substituer les coordonnées de A dans l'équation : a(x_A) + b(y_A) + c(z_A) + d = 0.
- 5. Isoler d et écrire l'équation complète du plan.
Erreur fréquente
Confondre vecteur directeur et vecteur normal. Oublier de calculer le 'd'.
Mini-exemple
n(1, -2, 3) est normal. Plan : x - 2y + 3z + d = 0. Passe par A(0, 1, -1). 0 - 2(1) + 3(-1) + d = 0 => d = 5. Plan : x - 2y + 3z + 5 = 0.
Général
Faire un tableau de signes parfait
Étapes
- 1. Résoudre chaque facteur égal à 0 (ex: 2x-4=0 => x=2) et identifier les valeurs interdites (ex: dénominateur = 0).
- 2. Tracer un grand tableau. Sur la 1ère ligne (x), placer le domaine de définition et y insérer, en ordre croissant, toutes les valeurs trouvées à l'étape 1.
- 3. Tracer une ligne par facteur. Mettre un '0' sous la valeur où le facteur s'annule.
- 4. Remplir avec la règle du signe de 'ax+b' (signe de -a puis signe de a) ou utiliser e^x > 0 toujours.
- 5. Sur la dernière ligne, faire le bilan des signes par colonnes (+ par - donne -, etc.). Mettre des doubles barres || pour les valeurs interdites.
Erreur fréquente
Ne pas classer les valeurs de x dans l'ordre croissant sur la première ligne, ce qui fausse totalement le tableau final.
Mini-exemple
Pour (x-2)(x+3) / x. Valeurs : 2, -3, 0(interdite). Ordre ligne 1 : -∞, -3, 0, 2, +∞.
Appliquer les méthodes dans un vrai parcours
Après le diagnostic, l'élève peut travailler les chapitres associés et suivre sa progression dans SprintMaths.
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