Quotient de polynômes
- Repérer le plus haut degré.
- Factoriser en haut et en bas par la même puissance de x.
- Simplifier et utiliser les limites de 1/x, 1/x², etc.
Méthode limites Terminale
Méthode : comment calculer une limite en Terminale
Devant une limite, le but est de choisir la bonne transformation. Cette méthode te donne une routine simple pour identifier la forme, lever une indétermination et rédiger une conclusion claire.
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La méthode en 5 étapes
Cette routine évite de se jeter dans les calculs avant de savoir quelle forme on traite.
- 1Identifier la variable, la borne et le type de limite demandé.
- 2Tester les opérations directes pour voir si la limite se conclut immédiatement.
- 3Nommer la forme indéterminée si elle apparaît.
- 4Transformer l'expression : factoriser, simplifier ou isoler le terme dominant.
- 5Conclure avec la borne, le résultat et l'interprétation graphique si elle est demandée.
Choisir la transformation selon le cas
Une limite devient souvent simple quand on reconnaît la famille de l'expression. Voici les cas à travailler en priorité.
Somme ou différence
- Chercher le terme dominant.
- Mettre ce terme en facteur.
- Étudier le signe de la parenthèse et du facteur.
Asymptote
- Calculer la limite à la borne demandée.
- Vérifier si le résultat est fini ou infini.
- Écrire l'équation de l'asymptote uniquement quand l'énoncé le demande.
Exemple guidé
La rédaction doit montrer la transformation, pas seulement le résultat final.
Calculer la limite de (2x² - 3x + 1) / (x² + 5) quand x tend vers plus l'infini.
On obtient une forme infini sur infini. On factorise par x² en haut et en bas.
(2x² - 3x + 1) / (x² + 5) = x²(2 - 3/x + 1/x²) / x²(1 + 5/x²).
Après simplification, 1/x et 1/x² tendent vers 0. La limite vaut donc 2.
Trois limites corrigées pas à pas
L’exemple guidé traite un quotient de polynômes. Voici trois situations où factoriser par le plus haut degré ne suffit pas : un produit avec l’exponentielle, un encadrement et une fonction composée. Ce sont des exemples originaux SprintMaths, rédigés comme sur une copie.
Dans les trois cas, la rédaction suit le même ordre : la forme reconnue, la transformation, puis la conclusion avec la borne.
1. Produit avec l’exponentielle : la forme « ∞ × 0 »
Calculer la limite de (x² − 3x)eˣ quand x tend vers −∞.
Forme reconnue : quand x tend vers −∞, x² et −3x tendent vers +∞, donc x² − 3x tend vers +∞, tandis que eˣ tend vers 0. Le produit est une forme indéterminée « ∞ × 0 ».
Transformation : on développe pour faire apparaître deux limites de référence.
(x² − 3x)eˣ= x²eˣ − 3xeˣ
Par croissance comparée, x²eˣ et xeˣ tendent vers 0 quand x tend vers −∞. Pour s’en convaincre, on écrit x²eˣ = (−x)²/e⁻ˣ : quand x tend vers −∞, −x tend vers +∞, et l’exponentielle l’emporte sur toute puissance.
Conclusion : par somme, la limite de (x² − 3x)eˣ quand x tend vers −∞ vaut 0 − 3 × 0 = 0. L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en −∞.
Erreur à éviter : écrire « ∞ × 0 = 0 » sans justification. Le résultat est juste ici, mais pas grâce à cette règle, qui n’existe pas : e⁻ˣ × eˣ est aussi de la forme « ∞ × 0 » en −∞, et vaut pourtant 1 pour tout x.
2. Encadrement : quand sin x n’a pas de limite
Calculer la limite de (2x + sin x)/x quand x tend vers +∞.
Forme reconnue : sin x n’a pas de limite en +∞, donc les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. En revanche, sin x est borné : −1 ≤ sin x ≤ 1 pour tout réel x. C’est le signal d’un encadrement.
Transformation : pour x > 0, on sépare la fraction en deux.
(2x + sin x)/x= 2 + (sin x)/x
Comme x > 0, diviser par x conserve le sens des inégalités : −1/x ≤ (sin x)/x ≤ 1/x. On ajoute 2 à chaque membre.
2 − 1/x ≤ (2x + sin x)/x≤ 2 + 1/x
Conclusion : 2 − 1/x et 2 + 1/x tendent tous les deux vers 2 quand x tend vers +∞. D’après le théorème des gendarmes, la limite de (2x + sin x)/x quand x tend vers +∞ vaut 2. La droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe en +∞, même si la courbe la traverse chaque fois que sin x s’annule.
Erreur à éviter : affirmer « sin x n’a pas de limite, donc le quotient non plus ». C’est faux : sin x reste entre −1 et 1, et une quantité bornée divisée par x tend vers 0. Seul l’encadrement justifie la conclusion.
3. Fonction composée : une limite dans l’exposant
Calculer la limite de exp((1 − x)/(x + 2)) quand x tend vers +∞.
Forme reconnue : c’est une fonction composée. On calcule d’abord (1 − x)/(x + 2), puis on en prend l’exponentielle. Cet exposant est un quotient de la forme « ∞/∞ » : le numérateur tend vers −∞ et le dénominateur vers +∞.
Transformation : on lève d’abord l’indétermination de l’exposant. Pour x > 0, on factorise par x en haut et en bas : 1 − x = x(1/x − 1) et x + 2 = x(1 + 2/x). Après simplification par x :
(1 − x)/(x + 2)= (1/x − 1)/(1 + 2/x)
Quand x tend vers +∞, 1/x et 2/x tendent vers 0 : l’exposant tend vers (0 − 1)/(1 + 0) = −1.
Conclusion : la fonction exponentielle est continue en −1, donc exp(u) tend vers exp(−1) quand u tend vers −1. Par composition, la limite de exp((1 − x)/(x + 2)) quand x tend vers +∞ vaut e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368.
Erreur à éviter : remplacer x par l’infini dans l’exposant, ou ne regarder que le numérateur : « 1 − x tend vers −∞, donc l’exponentielle tend vers 0 ». Le dénominateur compte autant : l’exposant tend vers −1, pas vers −∞, et la limite vaut 1/e, pas 0.
Erreurs fréquentes
Conclure trop vite devant une forme indéterminée.
Oublier de factoriser avant d'utiliser les coefficients dominants.
Confondre le signe en plus l'infini et en moins l'infini.
Donner une limite sans préciser la borne étudiée.
Oublier l'interprétation graphique quand la question porte sur la courbe.
Appliquer la méthode sur des exercices
Une limite se maîtrise en alternant méthode courte et exercices corrigés. Commence par des cas simples, puis passe aux exercices type bac guidés.
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Questions fréquentes
Quelle est la première étape pour calculer une limite ?
Il faut identifier la borne et tester la substitution mentale. Cette étape dit si une opération directe suffit ou si l'expression donne une forme indéterminée.
Que faire avec une forme infini sur infini ?
Pour un quotient de polynômes, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. Les termes en 1/x ou 1/x² tendent ensuite vers 0.
Comment traiter infini moins infini ?
On cherche une transformation : mise en facteur du terme dominant, mise au même dénominateur ou autre écriture adaptée. On ne peut pas conclure directement.
Quand parler d'asymptote ?
Quand une limite donne une information graphique. Une limite finie en plus ou moins l'infini peut donner une asymptote horizontale, tandis qu'une limite infinie près d'une valeur interdite peut indiquer une asymptote verticale.
Comment progresser rapidement sur les limites ?
Il faut refaire plusieurs exercices courts en classant les erreurs : opération directe, terme dominant, factorisation, signe ou conclusion. Cette classification rend la méthode beaucoup plus stable.