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Suites Terminale — exercices corrigés et guidés

Exercices sur les suites en Terminale

Travaille les suites arithmétiques, géométriques, la récurrence, les variations et les limites avec des corrections courtes, puis passe aux exercices guidés SprintMaths quand tu veux t'entraîner étape par étape.

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Exercices guidés sur les suites

Un exercice de suites devient plus simple quand tu sépares les réflexes : identifier la nature de la suite, écrire la bonne formule, puis justifier proprement la conclusion.

Cette page réunit des exercices suites Terminale corrigés, avec un exercice de suite arithmétique, un exercice de suite géométrique, un exercice de récurrence et un exercice complet de suite auxiliaire qui mène à la formule explicite puis à la limite, pour s'entraîner avant un exercice type bac sur les suites.

Les exemples ci-dessous ne sont pas des annales officielles. Ils servent d'entraînement corrigé avant de passer aux exercices type bac guidés dans SprintMaths.

Exercice 1 : reconnaître une suite arithmétique

Suite arithmétique

Énoncé

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 3 et, pour tout entier naturel n, u_(n+1) = u_n + 4.

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Questions

  • Calculer u_1 et u_2.
  • Donner une formule explicite de u_n.
  • Calculer u_10.

Première étape guidée

On repère que l'on ajoute toujours 4 pour passer d'un terme au suivant : la suite est arithmétique de raison 4.

Méthode

Pour une suite arithmétique qui commence à u_0, on utilise u_n = u_0 + nr. Ici, u_0 = 3 et r = 4.

Correction courte

  • u_1 = 3 + 4 = 7 et u_2 = 7 + 4 = 11.
  • La formule explicite est u_n = 3 + 4n.
  • Donc u_10 = 3 + 4 x 10 = 43.

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Exercice 2 : suite géométrique et formule explicite

Suite géométrique

Énoncé

On considère la suite (v_n) définie par v_0 = 5 et, pour tout entier naturel n, v_(n+1) = 2v_n.

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Questions

  • Calculer v_1 et v_2.
  • Donner l'expression de v_n en fonction de n.
  • Interpréter la croissance de la suite.

Première étape guidée

On repère que chaque terme est multiplié par 2 : la suite est géométrique de raison 2.

Méthode

Pour une suite géométrique qui commence à v_0, on utilise v_n = v_0 x q^n. Ici, v_0 = 5 et q = 2.

Correction courte

  • v_1 = 2 x 5 = 10 et v_2 = 2 x 10 = 20.
  • La formule explicite est v_n = 5 x 2^n.
  • Comme les termes sont positifs et doublent à chaque rang, la suite est strictement croissante.

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Exercice 3 : raisonnement par récurrence

Récurrence

Énoncé

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u_(n+1) = 0,5u_n + 1. Montrer que u_n > 0 pour tout entier naturel n.

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Questions

  • Écrire l'initialisation.
  • Formuler l'hypothèse de récurrence.
  • Démontrer la propriété au rang n+1.

Première étape guidée

On commence au rang 0 : u_0 = 1, donc u_0 > 0. L'initialisation est vraie.

Méthode

On suppose u_n > 0 pour un entier n fixé. Alors 0,5u_n > 0, donc 0,5u_n + 1 > 1, et en particulier u_(n+1) > 0.

Correction courte

  • Initialisation : u_0 = 1 > 0.
  • Hérédité : si u_n > 0, alors u_(n+1) = 0,5u_n + 1 > 0.
  • Par récurrence, u_n > 0 pour tout entier naturel n.

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Exercice 4 : suite auxiliaire, formule explicite et limite

Suite auxiliaire

Énoncé

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 10 et, pour tout entier naturel n, u_(n+1) = 0,8u_n + 6. On pose v_n = u_n - 30.

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Questions

  • Calculer u_1, u_2 et u_3, puis vérifier que (u_n) n'est pas géométrique.
  • Démontrer que (v_n) est géométrique, puis donner sa raison et son premier terme.
  • En déduire l'expression de u_n en fonction de n.
  • Étudier le sens de variation de (u_n) et montrer que u_n < 30 pour tout entier naturel n.
  • Déterminer la limite de la suite (u_n).

Première étape guidée

Cherche d'abord le nombre qui ne bouge plus : si x = 0,8x + 6, alors 0,2x = 6, donc x = 30. C'est exactement ce 30 que l'énoncé retire pour construire (v_n), et ce n'est pas un choix arbitraire.

Méthode

Pour une suite définie par u_(n+1) = au_n + b avec a différent de 1, on résout L = aL + b. En posant v_n = u_n - L, la suite (v_n) est géométrique de raison a : on calcule v_n avec la formule géométrique, puis on revient à la suite de départ en écrivant u_n = v_n + L.

Correction courte

  • u_1 = 0,8 x 10 + 6 = 14, u_2 = 0,8 x 14 + 6 = 17,2 et u_3 = 0,8 x 17,2 + 6 = 19,76.
  • (u_n) n'est pas géométrique : u_1 / u_0 = 1,4 alors que u_2 / u_1 = 17,2 / 14 ≈ 1,23. Le quotient n'est pas constant.
  • v_(n+1) = u_(n+1) - 30 = 0,8u_n + 6 - 30 = 0,8u_n - 24 = 0,8(u_n - 30) = 0,8v_n. Donc (v_n) est géométrique de raison 0,8, avec v_0 = 10 - 30 = -20.
  • On en déduit v_n = -20 x 0,8^n, puis u_n = v_n + 30 = 30 - 20 x 0,8^n.
  • u_(n+1) - u_n = 20 x 0,8^n - 20 x 0,8^(n+1) = 20 x 0,8^n x (1 - 0,8) = 4 x 0,8^n > 0 : la suite est strictement croissante.
  • Comme 20 x 0,8^n > 0, on a u_n = 30 - 20 x 0,8^n < 30 : la suite est majorée par 30. Elle est croissante et majorée.
  • Comme 0 < 0,8 < 1, 0,8^n tend vers 0 quand n tend vers plus l'infini, donc u_n tend vers 30.

Question de transfert

À toi : on considère la suite (w_n) définie par w_0 = 100 et, pour tout entier naturel n, w_(n+1) = 0,25w_n + 45. En suivant la même méthode, donne l'expression de w_n en fonction de n, son sens de variation et sa limite.

Solution de la question de transfert

L = 0,25L + 45 donne 0,75L = 45, donc L = 60. On pose t_n = w_n - 60 : t_(n+1) = 0,25w_n + 45 - 60 = 0,25(w_n - 60) = 0,25t_n, donc (t_n) est géométrique de raison 0,25 avec t_0 = 100 - 60 = 40. Ainsi t_n = 40 x 0,25^n et w_n = 60 + 40 x 0,25^n. Ici w_(n+1) - w_n = -30 x 0,25^n < 0 : la suite est décroissante et minorée par 60, et comme 0 < 0,25 < 1, w_n tend vers 60. Le signe de w_0 - L a changé, donc le sens de variation aussi.

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Exercice 5 : sens de variation d’une suite

Exercice 6 : limite d’une suite

Comment corriger efficacement un exercice de suites

Ne lis pas seulement la réponse finale. Reprends la correction en cherchant l'étape qui débloque l'exercice : nature de la suite, formule, récurrence, variation ou limite.

  • Comparer ton premier réflexe avec la méthode attendue.
  • Réécrire la ligne de calcul qui justifie le résultat.
  • Conclure avec les mots de la question, pas seulement avec un nombre.
  • Refaire un exercice proche sans regarder la correction.

Pour revoir la démarche complète, consulte aussi la méthode pour étudier une suite.

Continuer avec les exercices type bac

Après ces exercices corrigés sur les suites, tu peux passer à un entraînement type bac, revoir la méthode, construire ton planning ou débloquer le Pack Révision Express.

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Questions fréquentes

Quels types d’exercices sur les suites faut-il savoir faire ?

En Terminale, il faut savoir calculer des termes, reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, utiliser une formule explicite, rédiger une récurrence, étudier un sens de variation et chercher une limite simple.

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Une suite est arithmétique lorsque la différence u(n+1) - u(n) est constante. Cette constante est la raison r, et si la suite commence à u0, on peut écrire u(n) = u0 + nr.

Comment reconnaître une suite géométrique ?

Une suite est géométrique lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une même raison q. Si v0 est le premier terme, alors v(n) = v0 x q^n.

Comment étudier une suite définie par u(n+1) = a x u(n) + b ?

On cherche d'abord le nombre L qui vérifie L = aL + b, puis on pose v(n) = u(n) - L. La suite (v(n)) est géométrique de raison a : on écrit sa formule explicite, puis on revient à u(n) = v(n) + L. Attention, la suite de départ n'est pas géométrique, seule la suite auxiliaire l'est.

Comment réussir une récurrence ?

Il faut rédiger trois moments : vérifier l'initialisation, supposer la propriété vraie au rang n, puis démontrer qu'elle est vraie au rang n+1 avant de conclure pour tout entier naturel n.

Faut-il apprendre les formules par cœur ?

Oui pour les formules de base, mais l'essentiel est de savoir quand les utiliser. Une formule apprise sans méthode ne suffit pas si l'énoncé demande une justification ou une interprétation.

Ces exercices sont-ils des annales officielles ?

SprintMaths propose des exercices d’entraînement et des exercices type bac guidés, sans revendiquer qu’il s’agit d’annales officielles.