Suite arithmétique
On ajoute toujours le même nombre. Le test utile est u(n+1) - u(n). Si la différence est constante, c'est la raison.
Méthode suites Terminale
Méthode : comment étudier une suite en Terminale
Devant une suite, le but n'est pas de deviner la réponse. Il faut suivre une routine courte : lire la définition, calculer quelques termes, reconnaître le type de suite, justifier les variations, puis chercher la limite.
Besoin d'un repère avant de t'entraîner ?
La méthode en 5 étapes
Garde cette suite d'actions en tête. Elle ne remplace pas le cours, mais elle évite de partir dans tous les sens dès la première ligne.
- 1Regarder si la suite est donnée par formule explicite ou par récurrence.
- 2Calculer u0, u1 et u2 pour repérer le comportement.
- 3Chercher si la suite est arithmétique ou géométrique.
- 4Étudier u(n+1) - u(n), ou le quotient si les termes sont positifs.
- 5Chercher une limite avec les résultats du cours et une intuition encadrée.
Étape 1 : identifier comment la suite est définie
Une suite peut être donnée par une formule explicite, par exemple u(n) = 2n + 1, ou par une relation de récurrence, par exemple u(n+1) = u(n) + 3.
Si la formule donne directement u(n), tu peux calculer un terme en remplaçant n. Si elle donne u(n+1), tu dois partir du terme initial et avancer rang par rang.
Étape 2 : calculer les premiers termes
Calcule u0, u1 et u2. Ces trois termes ne prouvent pas tout, mais ils donnent une intuition : la suite monte, descend, se rapproche d'un nombre ou grandit vite.
Attention : une intuition n'est pas une démonstration. Elle sert à choisir la bonne méthode, puis il faut justifier avec un calcul ou une récurrence.
Étape 3 : reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
Suite géométrique
On multiplie toujours par le même nombre. Si les termes sont non nuls, le quotient u(n+1) / u(n)permet de repérer la raison.
Étape 4 : étudier le sens de variation
Le réflexe principal est de calculer u(n+1) - u(n). Si cette différence est positive pour tout n, la suite est croissante. Si elle est négative pour tout n, la suite est décroissante.
Quand tous les termes sont strictement positifs, un quotient peut être plus rapide : comparer u(n+1) / u(n) à 1 revient à comparer deux termes consécutifs.
Étape 5 : chercher une limite
Une limite se cherche rarement au hasard. Demande-toi d'abord si tu as une suite arithmétique, une suite géométrique, une expression avec une puissance, un quotient ou une forme du type a + b/n.
Puis utilise les résultats du cours. Une intuition peut aider, mais la copie doit finir par une phrase claire : “donc la suite converge vers ...” ou “donc la suite diverge vers +∞”.
Cas fréquent : démontrer une propriété par récurrence
La récurrence sert à prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un rang donné. La structure est toujours la même.
- 1
Initialisation
On vérifie la propriété au premier rang demandé.
- 2
Hérédité
On suppose la propriété vraie au rang n, puis on montre le rang n+1.
- 3
Conclusion
On écrit que la propriété est vraie pour tous les rangs concernés.
Point de vigilance : beaucoup d'élèves font l'initialisation et l'hérédité, puis oublient la conclusion. Sans conclusion, la récurrence n'est pas terminée.
Exemple guidé
On choisit un exemple simple pour avoir une preuve courte et juste.
On considère la suite définie par u0 = 1 et u(n+1) = u(n) + 3.
Premiers termes
u1 = 1 + 3 = 4, puis u2 = 4 + 3 = 7. La suite semble croissante.
Nature de la suite
À chaque rang, on ajoute 3. La suite est donc arithmétique de raison 3.
Formule explicite
Comme elle commence à u0 = 1, on obtient u(n) = 1 + 3n.
Variation et limite
u(n+1) - u(n) = 3, donc la suite est strictement croissante. Comme 1 + 3n tend vers +∞, la suite diverge vers +∞.
Comment utiliser une récurrence ici ?
Pour démontrer la formule u(n) = 1 + 3n, on vérifie d'abord le rang 0. Puis on suppose u(n) = 1 + 3n et on calcule u(n+1) = u(n) + 3 = 1 + 3n + 3, donc u(n+1) = 1 + 3(n+1). On conclut alors que la formule est vraie pour tout entier naturel n.
S’entraîner sur les suites
La méthode devient utile quand tu l'appliques sur plusieurs énoncés : un exercice court, puis un format type bac, puis un plan de révision si le chapitre reste fragile.
Voir le programme du chapitre SuitesEssayer un exercice type bac guidéRecevoir le planning Bac Maths 2027Faire le diagnostic gratuit
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Questions fréquentes
Comment savoir si une suite est arithmétique ?
On calcule u(n+1) - u(n). Si cette différence est constante, la suite est arithmétique et cette constante est sa raison.
Comment savoir si une suite est géométrique ?
On regarde si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre. Quand les termes ne sont pas nuls, on peut étudier le quotient u(n+1) / u(n).
Quelle méthode pour une récurrence ?
La rédaction suit trois moments : initialisation, hérédité, conclusion. Beaucoup d'élèves font les calculs mais oublient de conclure que la propriété est vraie pour tous les rangs concernés.
Comment étudier les variations d’une suite ?
Le réflexe le plus fréquent est d'étudier le signe de u(n+1) - u(n). Si ce signe est positif, la suite est croissante ; s'il est négatif, elle est décroissante.
Comment trouver la limite d’une suite ?
On identifie d'abord la forme de la suite : arithmétique, géométrique, quotient, somme ou expression avec n. Ensuite, on applique les limites de référence du cours et on rédige la conclusion.
Que faire si je ne sais pas démarrer ?
Commence par calculer les premiers termes et par réécrire la définition avec n puis n+1. Si le blocage reste flou, fais un exercice guidé ou un diagnostic pour savoir quelle étape retravailler.