6 points officiels
Exercice 1 — abonnements musicaux
Probabilités, binomiale, variable aléatoire et Bienaymé-Tchebychev.
Voir le sujet officiel completCorrection proposée par SprintMaths à partir du sujet officiel.
Partie A
Compléter l’arbre et conditionner par l’option hors-ligne.
- Notion à reconnaître
- Probabilités totales et conditionnelles — P(C)=0,60 et P(H|F)=0,12/0,15=0,80
- Raisonnement
- On additionne les trois intersections E∩H, C∩H et F∩H.
Calculs utiles
P(E∩H)=0,25×0,45=0,1125
P(H)=0,1125+0,60×0,30+0,12=0,4125
P(E|H)=0,1125/0,4125=3/11≈0,273
Rédaction possible et résultat
L’arbre porte 0,25, 0,60 et 0,15 au premier niveau, puis 0,45, 0,30 et 0,80 vers H.
P(H)=0,4125 et P(E|H)≈0,273.
Erreur fréquente
Utiliser 12 % comme probabilité conditionnelle H sachant F alors qu’il s’agit d’une intersection.
Partie B
Étudier l’option hors-ligne sur 8 puis n abonnés.
- Notion à reconnaître
- Loi binomiale et événement contraire — les choix indépendants ont tous la probabilité 0,4125
- Raisonnement
- X suit une binomiale. Pour “au moins un”, le complément “aucun” évite une somme.
Calculs utiles
X~B(8;0,4125)
P(X=0)=0,5875⁸≈0,014
q=1−0,5875ⁿ
q≥0,999 ⇔ 0,5875ⁿ≤0,001
n≥ln(0,001)/ln(0,5875), donc n minimal=13
Rédaction possible et résultat
Treize abonnés suffisent pour atteindre au moins 99,9 % de probabilité d’en avoir un avec l’option.
P(X=0)≈0,014 ; n=13.
Erreur fréquente
Arrondir le quotient de logarithmes avant de prendre le plus petit entier supérieur.
Partie C
Établir la loi du prix Y puis contrôler une affirmation sur une autre plateforme.
- Notion à reconnaître
- Loi discrète, espérance, variance et Tchebychev — chaque abonnement existe avec et sans l’option à 2 €
- Raisonnement
- On associe les six intersections de l’arbre aux six prix. Pour Z, l’écart-type 2 donne une variance 4 et l’intervalle ]6;12[ est centré en 9 avec rayon 3.
Calculs utiles
Y: 5,7,10,12,16,18
P: 0,1375 ; 0,1125 ; 0,42 ; 0,18 ; 0,03 ; 0,12
E(Y)=10,475 € ; V(Y)≈13,70
V(Z)=2²=4
P(6<Z<12)=P(|Z−9|<3)≥1−4/9=5/9>0,50
Rédaction possible et résultat
Le prix mensuel moyen théorique est 10,475 €. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev suffit à justifier l’affirmation du responsable vidéo.
V(Y)≈13,70 ; l’affirmation sur Z est vraie.
Erreur fréquente
Oublier que la variance est le carré de l’écart-type.