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Exercice 1 — stock de tomates
Arbre, loi binomiale, fréquence et Bienaymé-Tchebychev.
Voir le sujet officiel completCorrection proposée par SprintMaths à partir du sujet officiel.
Partie A
Compléter l’arbre et analyser l’origine des tomates non commercialisables.
- Notion à reconnaître
- Probabilités totales et conditionnelles — P(B)=0,40 et la branche B se retrouve par la probabilité totale de C
- Raisonnement
- L’intersection A∩C vaut 0,57. Comme P(C)=0,91, l’intersection B∩C vaut 0,34, donc P(C|B)=0,85.
Calculs utiles
P(A∩C)=0,60×0,95=0,57
P(B∩C)=0,91−0,57=0,34
P(C|B)=0,34/0,40=0,85
P(A∩non-C)=0,03 ; P(B∩non-C)=0,06
P(A|non-C)=1/3 et P(B|non-C)=2/3
Rédaction possible et résultat
Conditionnellement à une tomate non commercialisable, elle provient deux fois plus souvent de B que de A.
Le responsable a raison.
Erreur fréquente
Comparer 5 % et 15 % sans pondérer par les parts de stock 60 % et 40 %.
Partie B
Calculer des probabilités binomiales puis contrôler une fréquence observée.
- Notion à reconnaître
- Binomiale et Bienaymé-Tchebychev — la probabilité d’une tomate non commercialisable est 0,09
- Raisonnement
- Pour Fₙ=Xₙ/n, l’espérance est 0,09 et la variance est celle de Xₙ divisée par n². L’intervalle ]0,04;0,14[ correspond à un écart de 0,05.
Calculs utiles
X~B(15;0,09)
P(X=2)≈0,250 ; P(X≤2)≈0,853
E(Fₙ)=0,09 ; V(Fₙ)=0,09×0,91/n=0,0819/n
P(0,04<Fₙ<0,14)≥1−0,0819/(0,05²n)=1−32,76/n
55/500=0,11∈]0,04;0,14[ ; la borne vaut 0,93448
Rédaction possible et résultat
La fréquence 11 % se trouve dans l’intervalle garanti avec une probabilité d’au moins 93,448 % pour n=500.
L’observation est conforme à ce que le responsable pouvait attendre.
Erreur fréquente
Présenter l’inégalité de Tchebychev comme une probabilité exacte plutôt que comme une borne inférieure.