5 points officiels
Exercice 1 — tireur à l’arc
Arbre, suite affine, géométrique, limite, Python et seuil.
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Questions 1 à 5
Établir la relation de récurrence puis la forme explicite de pₙ.
- Notion à reconnaître
- Probabilités totales et suite affine — le tir n+1 dépend uniquement de la réussite au tir n
- Raisonnement
- L’arbre donne pₙ×4/5+(1−pₙ)×1/3. Le point fixe est 5/8 ; on recentre la suite autour de lui.
Calculs utiles
p₁=1/2 ; p₂=1/2×4/5+1/2×1/3=17/30
pₙ₊₁=(7/15)pₙ+1/3
uₙ=pₙ−5/8 ; uₙ₊₁=(7/15)uₙ
u₁=−1/8, donc uₙ=−(1/8)(7/15)^(n−1)
pₙ=5/8−(1/8)(7/15)^(n−1)
lim pₙ=5/8
Rédaction possible et résultat
À long terme, la probabilité de toucher le centre se rapproche de 62,5 %.
pₙ=5/8−(1/8)(7/15)^(n−1) et lim pₙ=5/8.
Erreur fréquente
Prendre pₙ=5/8+(1/8)(7/15)^(n−1), incompatible avec p₁=1/2.
Questions 6 et 7
Programmer et résoudre le seuil pₙ≥0,6.
- Notion à reconnaître
- Boucle while et inéquation exponentielle — la suite croît vers 0,625
- Raisonnement
- La boucle se poursuit tant que p<0,6. Dans l’expression exacte, on isole la puissance positive puis on cherche le premier entier.
Calculs utiles
while p<0.6: n=n+1 ; p=(7/15)*p+1/3 ; return n
pₙ≥3/5 ⇔ (7/15)^(n−1)≤1/5
(7/15)²>1/5 et (7/15)³<1/5
Rédaction possible et résultat
Le premier rang qui satisfait le seuil est n=4.
La fonction renvoie 4 et l’inéquation a pour solutions n≥4.
Erreur fréquente
Oublier que la base 7/15 est comprise entre 0 et 1, donc ses puissances décroissent.