Si f’ est positive
La fonction f est croissante sur l'intervalle.
Méthode dérivation Terminale
Méthode : comment faire un tableau de variation en Terminale
Un tableau de variation ne se remplit pas au feeling. En Terminale, la méthode consiste à partir du domaine, calculer la dérivée, étudier le signe de la dérivée, puis traduire ce signe en variations de la fonction.
Cette fiche te donne une routine claire pour les études de fonction, avec l'exemple classique d'une fonction polynôme du second degré.
Besoin d'un repère avant de t'entraîner ?
La méthode en 5 étapes
La méthode tableau de variation Terminale tient en cinq actions. Le plus important est de justifier chaque flèche par le signe de la dérivée.
- 1Déterminer le domaine.
- 2Calculer f’(x).
- 3Résoudre f’(x)=0 et étudier le signe de f’.
- 4Calculer les valeurs utiles de f.
- 5Compléter le tableau et conclure.
Étape 1 : identifier la fonction et son domaine
Avant de dériver, écris clairement la fonction et son domaine de définition. Pour un polynôme, le domaine est souvent R. Pour un quotient, une racine ou un logarithme, il faut exclure les valeurs interdites.
Le domaine donne la première ligne du tableau. Il évite de placer des flèches sur des intervalles où la fonction n'existe pas.
Étape 2 : calculer la dérivée
Calcule f’(x) avec les formules du cours : somme, produit, quotient, composée, logarithme ou exponentielle selon la fonction.
Quand c'est possible, factorise la dérivée. Une forme factorisée rend l'étude du signe plus lisible et réduit les erreurs dans le tableau de signe.
Étape 3 : étudier le signe de la dérivée
Résous f’(x)=0, puis place les solutions dans l'ordre croissant. Ensuite, détermine si f’ est positive ou négative sur chaque intervalle.
Si f’ est négative
La fonction f est décroissante sur l'intervalle.
Étape 4 : placer les valeurs importantes
les bornes du domaine, par exemple −∞ et +∞ sur R ;
les valeurs interdites si la fonction n'est pas définie partout ;
les solutions de f’(x)=0 ;
les valeurs de f aux points critiques ;
les limites aux bornes quand elles sont demandées.
Étape 5 : construire le tableau de variation
Le tableau doit faire apparaître les intervalles, le signe de la dérivée et les variations de la fonction. Les flèches ne sont pas une décoration : elles traduisent le signe de f’.
Termine par une phrase de conclusion : “la fonction est décroissante sur tel intervalle, croissante sur tel autre, et admet un minimum ou un maximum si c'est le cas.”
Cas fréquent : dérivée factorisée
Quand la dérivée est factorisée, par exemple f’(x) = (x-1)(x+3), fais d'abord un tableau de signe. Chaque facteur donne une valeur où le signe peut changer.
Une fois le signe global de f’obtenu, tu passes au tableau de variation. C'est la différence essentielle entre tableau de signe et tableau de variation.
Exemple guidé
On applique la méthode sur une fonction simple pour voir le lien entre dérivée, signe et variations.
Soit f(x)=x²-4x+1 sur R.
Dérivée
f’(x)=2x-4.
Point critique
f’(x)=0 pour x=2.
Signe de la dérivée
f’ est négative avant 2, puis positive après 2.
Valeur utile
f(2)=2²-4×2+1=-3.
| x | −∞ | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|
| signe de f’ | − | 0 | + |
| variations de f | décroît | minimum −3 | croît |
Donc f décroît sur ]−∞,2] puis croît sur [2,+∞[. La fonction admet un minimum en x=2, égal à −3.
Deux tableaux de variation complets
L’exemple guidé traite un polynôme défini partout. Voici deux études où le domaine change la forme du tableau : une fonction avec une valeur interdite, puis une fonction avec un logarithme. Ce sont des exemples originaux SprintMaths, rédigés comme sur une copie.
Les deux suivent la même routine : domaine, dérivée factorisée, signe, valeurs et limites aux bornes, tableau, puis une phrase de conclusion.
1. Avec une valeur interdite : un tableau coupé en deux
Étudier les variations de la fonction f définie par f(x) = (x² + 3)/(x − 1).
Domaine : le dénominateur s’annule pour x = 1. La fonction f est donc définie sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[. La valeur interdite 1 coupe le tableau en deux.
Dérivée : f est un quotient u/v, avec u(x) = x² + 3 et v(x) = x − 1, donc u’(x) = 2x et v’(x) = 1. On calcule d’abord le numérateur u’v − uv’ :
2x(x − 1) − (x² + 3)= x² − 2x − 3= (x − 3)(x + 1)
La dernière ligne vient des racines du trinôme, −1 et 3. Pour tout x différent de 1 :
f’(x) = (x − 3)(x + 1)/(x − 1)²
Signe : (x − 1)² est strictement positif dès que x est différent de 1. Donc f’(x) a le signe du produit (x − 3)(x + 1) : positif à l’extérieur des racines −1 et 3, négatif entre elles. Comme 1 se trouve entre −1 et 3, le signe « − » se lit sur deux intervalles : ]−1 ; 1[ et ]1 ; 3[.
Valeurs utiles : f(−1) = 4/(−2) = −2 et f(3) = 12/2 = 6.
Limites à l’infini : pour x non nul, f(x) = x(1 + 3/x²)/(1 − 1/x). Le quotient (1 + 3/x²)/(1 − 1/x) tend vers 1, donc f(x) tend vers −∞ quand x tend vers −∞, et vers +∞ quand x tend vers +∞.
Limites en 1 : le numérateur x² + 3 tend vers 4. Le dénominateur x − 1 tend vers 0 en restant négatif à gauche de 1, positif à droite. Donc f(x) tend vers −∞ à gauche de 1 et vers +∞ à droite de 1.
| x | −∞ | −1 | 1 | 3 | +∞ | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| signe de f’(x) | + | 0 | − | double barre | − | 0 | + | |||
| variations de f | −∞ | croît | −2 | décroît | −∞ | +∞ | décroît | 6 | croît | +∞ |
Si le tableau dépasse du cadre, fais-le glisser vers la gauche.
La double barre sous 1 signale la valeur interdite : f n’est pas définie en 1 et aucune flèche ne traverse cette barre.
Donc f croît sur ]−∞ ; −1], décroît sur [−1 ; 1[ et sur ]1 ; 3], puis croît sur [3 ; +∞[. Elle admet un maximum local égal à −2 en x = −1 et un minimum local égal à 6 en x = 3.
Deux erreurs à éviter :
- Écrire « f décroît sur ]−1 ; 3[ ». Cet intervalle contient 1, où f n’existe pas. Vérification rapide : f(0) = −3 et f(2) = 7, donc f(0) est plus petit que f(2), ce qu’une fonction décroissante interdit. Il faut citer les deux intervalles séparément.
- Croire à une faute de calcul parce que le maximum local (−2) est plus petit que le minimum local (6). Ces extremums sont locaux : −2 est la plus grande valeur de f à gauche de 1, et 6 la plus petite à droite de 1.
2. Avec un logarithme : un tableau qui commence à 0
Étudier les variations de la fonction g définie par g(x) = x² − 8 ln(x).
Domaine : ln(x) n’existe que pour x > 0. La fonction g est donc définie sur ]0 ; +∞[ : le tableau commence à 0, borne exclue.
Dérivée : on dérive terme à terme, puis on réduit au même dénominateur pour pouvoir lire le signe.
g’(x) = 2x − 8/x= (2x² − 8)/x= 2(x − 2)(x + 2)/x
Signe : sur ]0 ; +∞[, les facteurs x et x + 2 sont strictement positifs. Donc g’(x) a le signe de x − 2 : négatif sur ]0 ; 2[, nul en 2, positif sur ]2 ; +∞[.
Valeur utile : g(2) = 4 − 8 ln(2), soit environ −1,55.
Limite en 0 : quand x tend vers 0 par valeurs positives, x² tend vers 0 et ln(x) tend vers −∞, donc −8 ln(x) tend vers +∞. Par somme, g(x) tend vers +∞.
Limite en +∞ : x² et 8 ln(x) tendent tous les deux vers +∞, la différence est une forme indéterminée. On factorise : g(x) = x²(1 − 8 ln(x)/x²). Par croissance comparée, ln(x)/x² tend vers 0 : la parenthèse tend vers 1 et g(x) tend vers +∞.
| x | 0 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| signe de g’(x) | double barre | − | 0 | + | ||
| variations de g | +∞ | décroît | 4 − 8 ln(2) | croît | +∞ | |
Si le tableau dépasse du cadre, fais-le glisser vers la gauche.
La double barre sous 0 rappelle que g n’est pas définie en 0. Aucune valeur négative de x n’apparaît dans le tableau.
Donc g décroît sur ]0 ; 2] puis croît sur [2 ; +∞[. Elle admet un minimum en x = 2, égal à 4 − 8 ln(2), soit environ −1,55.
Ce que le tableau permet de dire : le minimum est négatif alors que g(x) tend vers +∞ aux deux bornes. Comme g est continue et strictement monotone sur chacun des deux intervalles, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires s’applique deux fois : l’équation g(x) = 0 a exactement deux solutions, une dans ]0 ; 2[ et une dans ]2 ; +∞[.
Erreur à éviter : placer −2 dans le tableau. Le nombre −2 annule bien 2(x − 2)(x + 2), mais il n’appartient pas à ]0 ; +∞[ : g(−2) n’existe pas. On ne garde que les valeurs du domaine.
Pièges fréquents
oublier le domaine ;
confondre signe de f et signe de f’ ;
oublier les valeurs de f aux points critiques ;
ne pas conclure en phrase ;
mettre des flèches sans justification.
S’entraîner sur la dérivation
Pour progresser, alterne un exercice court de dérivation, une fiche méthode et un exercice type bac guidé. Le tableau de variation devient plus naturel quand le signe de la dérivée est travaillé plusieurs fois.
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Questions fréquentes
Pourquoi utiliser la dérivée pour un tableau de variation ?
La dérivée indique le sens de variation de la fonction. Si f’ est positive sur un intervalle, f est croissante ; si f’ est négative, f est décroissante.
Comment trouver le signe de la dérivée ?
On résout d'abord f’(x)=0, puis on étudie le signe de l'expression obtenue. Une dérivée factorisée se traite facteur par facteur dans un tableau de signe.
Faut-il toujours calculer f’ ?
Pour une étude de fonction en Terminale, le tableau de variation se construit presque toujours à partir de f’. Si l'énoncé donne déjà le signe de la dérivée, il faut l'utiliser directement.
Que mettre dans un tableau de variation ?
On place la ligne des x, le signe de f’, les valeurs importantes de f et les flèches de variation. Les valeurs critiques et les bornes du domaine doivent être visibles.
Quelle différence entre tableau de signe et tableau de variation ?
Le tableau de signe sert à connaître le signe d'une expression, ici f’. Le tableau de variation utilise ce signe pour décrire si la fonction f augmente ou diminue.
Que faire si je ne sais pas démarrer ?
Commence par écrire le domaine, puis calcule f’. Ensuite seulement, cherche les valeurs où f’ s'annule et étudie son signe. Si cette étape bloque, reprends un exercice guidé de dérivation.