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Probabilités Terminale — exercices corrigés et guidés

Exercices sur les probabilités en Terminale

Travaille les probabilités conditionnelles, les arbres pondérés, l'indépendance, la loi binomiale et l'espérance avec des exercices corrigés courts avant de passer à un exercice type bac probabilités Terminale.

Les exercices visibles installent les réflexes essentiels : lire une condition, multiplier les bonnes branches, reconnaître une loi et éviter les pièges de notation.

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Exercices guidés sur les probabilités

Un exercice de probabilités en Terminale se gagne souvent avant le calcul : il faut nommer les événements, lire correctement la condition et choisir entre arbre pondéré, formule conditionnelle ou loi binomiale.

Cette page réunit des probabilités Terminale exercices corrigés pour travailler les automatismes de base : probabilité conditionnelle, arbre pondéré et reconnaissance d'une loi binomiale, puis un exercice complet de seuil qui combine événement contraire et logarithme.

Les exemples ci-dessous ne sont pas des annales officielles. Ils servent d'entraînement corrigé avant de passer aux exercices type bac guidés dans SprintMaths.

Exercice 1 : lire une probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle

Énoncé

Dans une classe, 60 % des élèves font spécialité maths. Parmi eux, 40 % font aussi physique. Notons M : “faire maths”, P : “faire physique”.

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Questions

  • Donner P(M).
  • Donner P_M(P).
  • Calculer P(M ∩ P).

Étape guidée

La phrase “Parmi eux” signifie que l'on se place déjà dans le groupe des élèves qui font maths : c'est donc une probabilité conditionnelle sachant M.

Méthode

On lit directement P(M), puis P_M(P). Pour l'intersection, on utilise P(M ∩ P) = P(M) × P_M(P).

Correction courte

  • P(M)=0,6.
  • P_M(P)=0,4.
  • P(M ∩ P)=0,6×0,4=0,24.

Piège fréquent

Ne lis pas 40 % comme P(P). Ici, 40 % concerne seulement les élèves qui font déjà spécialité maths.

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Exercice 2 : utiliser un arbre pondéré

Arbre pondéré

Énoncé

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on tire une deuxième boule.

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Questions

  • Calculer la probabilité d’obtenir deux rouges.
  • Calculer la probabilité d’obtenir une rouge puis une bleue.
  • Expliquer pourquoi un arbre pondéré est utile.

Étape guidée

Comme la boule est remise, la composition de l'urne reste la même au deuxième tirage : P(R)=3/5 et P(B)=2/5 à chaque étape.

Méthode

Dans un arbre pondéré, une issue complète correspond à un chemin. On multiplie les probabilités inscrites sur les branches du chemin choisi.

Correction courte

  • P(R)=3/5 et P(B)=2/5.
  • P(R puis R)=3/5×3/5=9/25.
  • P(R puis B)=3/5×2/5=6/25.
  • L'arbre pondéré est utile pour visualiser les deux tirages et multiplier les bonnes branches dans le bon ordre.

Piège fréquent

Ne transforme pas le deuxième tirage en 2/4 ou 3/4 : il y a remise, donc les probabilités restent 3/5 et 2/5.

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Exercice 3 : reconnaître une loi binomiale

Loi binomiale

Énoncé

On répète 10 fois une expérience avec deux issues : succès avec probabilité 0,3, échec avec probabilité 0,7. Les répétitions sont indépendantes. On note X le nombre de succès.

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Questions

  • Identifier le nombre de répétitions.
  • Identifier la probabilité de succès.
  • Reconnaître la loi suivie par X.

Étape guidée

On vérifie les trois indices : deux issues, même probabilité de succès à chaque répétition, répétitions indépendantes.

Méthode

Quand X compte le nombre de succès dans n répétitions indépendantes d'une même expérience de Bernoulli de paramètre p, alors X suit B(n ; p).

Correction courte

  • Le nombre de répétitions est n=10.
  • La probabilité de succès est p=0,3.
  • X suit une loi binomiale B(10 ; 0,3).

Piège fréquent

Ne prends pas 0,7 comme paramètre si X compte les succès. Le paramètre p correspond à la probabilité de l'événement compté par X.

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Exercice 4 : combien d’essais pour au moins 90 % de chances de gagner ?

Seuil et loi binomiale

Énoncé

Une machine à pince de fête foraine fait gagner une peluche avec la probabilité 0,2 à chaque essai, indépendamment des essais précédents. Un joueur fait n essais, où n est un entier naturel non nul, et on note X le nombre d'essais gagnants.

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Questions

  • Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
  • Montrer que P(X ≥ 1) = 1 − 0,8ⁿ.
  • Déterminer le plus petit entier n tel que P(X ≥ 1) ≥ 0,9.
  • Vérifier ce résultat avec n = 10 et n = 11, puis l’interpréter.

Étape guidée

« Au moins un essai gagnant » a pour événement contraire « aucun essai gagnant », c'est-à-dire X = 0. On calcule donc P(X = 0), qui tient en une seule puissance, au lieu d'additionner P(X = 1), P(X = 2), …, P(X = n).

Méthode

Quand l'inconnue n est en exposant, on isole d'abord la puissance 0,8ⁿ. On applique ensuite ln, strictement croissante sur ]0,+∞[, ce qui conserve le sens de l'inégalité. Puis on divise par ln(0,8), qui est strictement négatif : le sens de l'inégalité change. On termine par le plus petit entier qui convient et on contrôle les deux entiers voisins.

Correction courte

  • Chaque essai est une épreuve de Bernoulli dont le succès « gagner » a pour probabilité p = 0,2. Les n essais sont identiques et indépendants, et X compte les succès : X suit la loi binomiale B(n ; 0,2).
  • L'événement contraire de X ≥ 1 est X = 0 : aucun essai gagnant. Chaque essai est perdu avec la probabilité 1 − 0,2 = 0,8, donc P(X = 0) = 0,8ⁿ et P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8ⁿ.
  • On cherche n tel que 1 − 0,8ⁿ ≥ 0,9, ce qui équivaut à 0,8ⁿ ≤ 0,1.
  • Les deux membres sont strictement positifs et ln est strictement croissante sur ]0,+∞[, donc 0,8ⁿ ≤ 0,1 équivaut à ln(0,8ⁿ) ≤ ln(0,1), soit n × ln(0,8) ≤ ln(0,1).
  • Comme 0 < 0,8 < 1, ln(0,8) < 0. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité : n ≥ ln(0,1) / ln(0,8).
  • À la calculatrice, ln(0,1) / ln(0,8) ≈ 10,3189 (valeur arrondie au dix-millième). Comme n est un entier, le plus petit entier qui convient est n = 11.
  • Vérification : pour n = 10, 1 − 0,8¹⁰ = 0,8926258176 < 0,9 ; pour n = 11, 1 − 0,8¹¹ = 0,91410065408 ≥ 0,9. Comme 0,8ⁿ diminue quand n augmente, 1 − 0,8ⁿ augmente : tout n ≥ 11 convient et aucun n ≤ 10 ne convient.
  • Conclusion : il faut faire au moins 11 essais pour que la probabilité de gagner au moins une peluche atteigne 90 %. Ce n'est pas une garantie : avec 11 essais, la probabilité de ne rien gagner vaut encore 0,8¹¹ ≈ 0,086, soit environ 8,6 %.

Piège fréquent

Quatre erreurs coûtent des points. Écrire 1 − 0,2ⁿ : 0,2ⁿ est la probabilité de gagner à tous les essais, pas celle de ne gagner à aucun. Oublier l'indépendance des essais, sans laquelle 0,8ⁿ n'est pas justifié. Diviser par ln(0,8) sans changer le sens : on obtiendrait n ≤ 10,3…, conclusion absurde puisque faire plus d'essais augmente les chances. Arrondir 10,3189 à 10 : pour n = 10, la probabilité vaut environ 0,893, sous le seuil.

Question de transfert

À toi : avec la même machine, combien d'essais faut-il faire au minimum pour que la probabilité de gagner au moins une peluche soit supérieure ou égale à 0,8 ? Résous l'inéquation, puis vérifie les deux entiers voisins.

Solution de la question de transfert

On cherche n tel que 1 − 0,8ⁿ ≥ 0,8, c'est-à-dire 0,8ⁿ ≤ 0,2. Comme ln est strictement croissante sur ]0,+∞[, cela équivaut à n × ln(0,8) ≤ ln(0,2), puis, comme ln(0,8) < 0, à n ≥ ln(0,2) / ln(0,8) ≈ 7,2126 (valeur arrondie au dix-millième). Le plus petit entier qui convient est n = 8. Vérification : pour n = 7, 1 − 0,8⁷ = 0,7902848 < 0,8 ; pour n = 8, 1 − 0,8⁸ = 0,83222784 ≥ 0,8. Il faut donc faire au moins 8 essais.

Pour revoir la traduction de « au moins » et les calculs avec la formule de la loi binomiale, consulte la méthode complète sur la loi binomiale.

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Exercice 5 : calculer avec une loi binomiale

Exercice 6 : interpréter une espérance

Comment corriger efficacement un exercice de probabilités

Ne regarde pas seulement le résultat numérique. Une bonne correction de probabilités vérifie d'abord la lecture de l'énoncé : condition, ordre des tirages, indépendance et variable étudiée.

  • Réécrire les événements avec leurs notations.
  • Repérer si l'énoncé demande une probabilité conditionnelle ou une intersection.
  • Pour un arbre, multiplier le long d'un chemin et additionner seulement des chemins compatibles.
  • Pour une loi binomiale, justifier n, p et l'indépendance avant de calculer.
  • Conclure avec une phrase liée au contexte, pas seulement une fraction ou un décimal.

Pour revoir la base, consulte aussi la méthode probabilités conditionnelles.

Continuer avec les exercices type bac

Après ces exercices corrigés sur les probabilités, tu peux passer à un entraînement type bac guidé, revoir la méthode, construire ton planning ou débloquer le Pack Révision Express.

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Questions fréquentes

Quels exercices de probabilités faut-il savoir faire ?

En Terminale, il faut savoir lire une probabilité conditionnelle, compléter ou exploiter un arbre pondéré, reconnaître l'indépendance, identifier une loi binomiale, calculer une probabilité avec cette loi et interpréter une espérance.

Comment lire une probabilité conditionnelle ?

La notation P_M(P) signifie la probabilité de P sachant que M est réalisé. On lit d'abord la condition, puis l'événement étudié : ici, parmi les élèves qui font maths, on regarde ceux qui font physique.

Comment utiliser un arbre pondéré ?

On place les événements par étapes, on écrit les probabilités sur les branches, puis on multiplie les probabilités le long d'un chemin. L'arbre aide surtout à ne pas confondre les branches et à garder l'ordre des expériences.

Comment reconnaître une loi binomiale ?

On vérifie qu'une même expérience de Bernoulli est répétée n fois de façon indépendante, avec la même probabilité de succès p. Si X compte le nombre de succès, alors X suit une loi binomiale B(n ; p).

Comment trouver le nombre minimal d’essais avec une loi binomiale ?

On passe par l'événement contraire : si X suit B(n ; p) avec 0 < p < 1, alors P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ. Pour atteindre par exemple 0,9, on résout (1 − p)ⁿ ≤ 0,1 en appliquant ln, strictement croissante sur ]0,+∞[. Comme ln(1 − p) < 0, diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité. On retient le plus petit entier n qui convient, puis on vérifie cet entier et le précédent.

Faut-il connaître les formules par cœur ?

Oui, les formules de base sont indispensables, mais elles doivent être reliées à une méthode : identifier les événements, choisir la bonne formule, justifier l'indépendance ou le schéma binomial, puis conclure avec les mots de l'énoncé.

Ces exercices sont-ils des annales officielles ?

SprintMaths propose des exercices d’entraînement et des exercices type bac guidés, sans revendiquer qu’il s’agit d’annales officielles.