Deux valeurs à connaître
ln(1) = 0 et ln(e) = 1. Ces deux repères servent très souvent dans les équations et les calculs de limites.
Programme logarithme Terminale — fonction ln Terminale
Fonction logarithme en Terminale : ce qu'il faut savoir pour le Bac
Ce guide résume le chapitre fonction logarithme Terminale : définition et domaine de ln, propriétés de calcul, dérivée, variations, équations et limites avec logarithme.
L'objectif n'est pas de refaire un cours interminable. Il s'agit de comprendre les méthodes qui reviennent avec ln et de savoir quoi travailler en exercices guidés.
Besoin d'un plan avant les exercices ?
Pourquoi le logarithme est important au Bac
La fonction logarithme Terminale spécialité maths revient régulièrement dans les exercices d'analyse : elle est reliée aux limites, à la dérivation et aux études de variations. Beaucoup de sujets combinent ln avec une étude de fonction ou un calcul de limite.
Cela ne veut pas dire qu'on peut prédire le sujet. Aucun chapitre ne peut être garanti au Bac. En revanche, maîtriser le programme logarithme Terminale donne une base solide pour aborder de nombreux exercices d'analyse.
Les notions à maîtriser
Cette checklist permet de réviser ln terminale sans se disperser avant de passer aux exercices corrigés.
vérifier le domaine de définition
utiliser les propriétés de ln
résoudre ln(x) = a
transformer une équation logarithmique
dériver une expression contenant ln
étudier une variation avec ln
calculer une limite simple
éviter les erreurs de domaine
Définition et domaine de ln
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[. Autrement dit, on ne peut calculer ln(x) que pour x strictement positif : c'est la première chose à vérifier dans un exercice.
Attention au domaine
Tout ce qui se trouve à l'intérieur d'un ln doit être strictement positif. La plupart des erreurs de l'élève viennent d'un domaine oublié.
Propriétés de calcul du logarithme
Ces propriétés sont valables pour des nombres strictement positifs. Elles permettent de transformer une expression avant de résoudre ou de dériver.
Produit
ln(ab) = ln(a) + ln(b), pour a > 0 et b > 0.
Quotient
ln(a/b) = ln(a) − ln(b), pour a > 0 et b > 0.
Puissance
ln(aⁿ) = n × ln(a), pour a > 0 et n entier.
Dérivée et variations de ln
La dérivée ln terminale est un grand classique : la dérivée de ln(x) est 1/x sur ]0 ; +∞[. Pour une expression composée ln(u), la dérivée est u'/u, ce qui revient souvent dans les études de fonctions.
Une fonction croissante
Comme 1/x est strictement positive sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est strictement croissante sur cet intervalle.
Utiliser la croissance
La stricte croissance de ln sert à comparer deux logarithmes et à résoudre les équations et inéquations sans changer le sens.
Équations et inéquations avec ln
Résoudre une équation logarithme terminale suit presque toujours le même enchaînement d'étapes.
- 1Déterminer le domaine de définition : tout ce qui est dans un ln doit être strictement positif.
- 2Utiliser les propriétés de ln pour regrouper les logarithmes d'un seul côté.
- 3Se ramener à une forme du type ln(A) = ln(B) ou ln(A) = a.
- 4Résoudre en utilisant que ln est strictement croissante (donc ln(A) = ln(B) équivaut à A = B).
- 5Vérifier que les solutions trouvées appartiennent bien au domaine de départ.
Limites avec logarithme
Les limites logarithme terminale à connaître concernent surtout les bords du domaine. On retient deux comportements de référence.
En 0⁺
Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers −∞. La courbe descend très bas près de 0.
En +∞
Quand x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞, mais lentement. Les croissances comparées (comme ln(x)/x qui tend vers 0) servent à lever certaines formes indéterminées.
Comment réviser la fonction logarithme
Le plus efficace est d'alterner méthode, exercices courts et correction active.
- 1Revoir le domaine de définition avant tout calcul avec ln.
- 2Refaire quelques transformations avec les propriétés de ln pour sécuriser les automatismes.
- 3Travailler les équations ln(x) = a puis les inéquations en gardant l'œil sur le domaine.
- 4Dériver des expressions contenant ln, puis étudier le signe pour conclure sur les variations.
- 5Comparer la correction avec ton raisonnement, pas seulement avec le résultat final.
Exercices recommandés
Commence par les propriétés de ln, puis passe aux équations et à la dérivation. Le but est d'apprendre à enchaîner les étapes en gardant l'œil sur le domaine.
Manipuler les propriétés de ln
Un exercice court pour transformer des expressions avec ln(ab), ln(a/b) et ln(aⁿ) sans erreur de domaine.
Résoudre une équation avec ln
Un entraînement central pour se ramener à ln(A) = ln(B), résoudre, puis vérifier le domaine.
Dériver et étudier une fonction avec ln
Un format type bac pour dériver une expression contenant ln et conclure sur les variations.
Passer du chapitre au plan Bac 2027
Si la fonction logarithme bloque, commence par un exercice guidé, puis utilise la méthode logarithme. Le diagnostic et le planning aident à transformer le blocage en plan de travail.
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Questions fréquentes
Le logarithme tombe-t-il souvent au Bac ?
La fonction logarithme est un chapitre d'analyse important en Terminale, souvent relié aux limites, à la dérivation et aux études de variations. On ne peut toutefois jamais garantir qu'un chapitre précis tombera le jour du Bac.
Quel est le domaine de définition de ln ?
La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[. Tout ce qui se trouve à l'intérieur d'un logarithme doit donc être strictement positif : c'est la première vérification à faire dans presque tous les exercices.
Comment résoudre une équation avec ln ?
On commence par déterminer le domaine, puis on utilise les propriétés de ln pour se ramener à ln(A) = ln(B) ou ln(A) = a. Comme ln est strictement croissante, ln(A) = ln(B) équivaut à A = B. Il faut enfin vérifier que les solutions appartiennent au domaine.
Quelle est la dérivée de ln ?
La dérivée de ln(x) est 1/x sur ]0 ; +∞[. Pour une expression composée ln(u), la dérivée est u'/u, ce qui est très utile dans les études de fonctions.
Quelles limites connaître avec ln ?
Les limites classiques sont : ln(x) tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives, et ln(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞. On utilise aussi les croissances comparées, par exemple ln(x)/x qui tend vers 0 en +∞.
Que faire si je bloque sur un exercice de logarithme ?
Il faut isoler l'étape qui bloque : domaine de définition, propriété de ln, équation, dérivée ou limite. Un diagnostic ou un exercice guidé permet de reprendre seulement la brique fragile au lieu de tout recommencer.