Programme officiel · Terminale spécialité maths 2026-2027
En Terminale spécialité, la fonction logarithme népérien ln est introduite comme la réciproque de l’exponentielle vue en Première. Le programme demande d’en connaître les propriétés algébriques, la dérivée, les variations, les limites et les croissances comparées, puis de s’en servir pour résoudre équations, inéquations et problèmes.
Cette page distingue ce que le texte officiel exige, les prérequis à vérifier et les conseils SprintMaths, avec un test rapide par compétence pour savoir quoi réviser. La méthode pas à pas et les exercices corrigés ont chacun leur page.
Réponse rapide
En 2026-2027, la Terminale spécialité mathématiques suit le programme fixé par l’arrêté du 19 juillet 2019. Le logarithme y forme une section de la partie Analyse : ln est construite comme la réciproque de la fonction exponentielle, puis étudiée comme une fonction de référence.
Un nouveau programme de Terminale a été publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026, mais il n’entre en application qu’à la rentrée 2027-2028. Il ne décrit donc pas l’année 2026-2027.
Textes officiels relus le 18 octobre 2026. Lire le programme applicable (PDF Éduscol)
Voici ce que liste le texte officiel, reformulé sans rien ajouter. Les conseils SprintMaths viennent après, séparément.
Le chapitre « Primitives, équations différentielles » du même programme cite aussi x ↦ 1/x parmi les primitives de référence : c’est le lien entre ln et le calcul de primitives.
Chaque prérequis indique d’où il vient : le texte officiel lui-même, un autre chapitre du programme de Terminale, ou un conseil SprintMaths.
Texte officiel
Le programme introduit ln comme réciproque de l’exponentielle étudiée en Première. Il faut donc maîtriser exp(a + b) = exp(a) × exp(b), le fait que exp(x) > 0 pour tout réel x, la stricte croissance de exp et l’allure de sa courbe.
Programme de Terminale, autres chapitres
La formule (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′ et les opérations sur les limites figurent dans les chapitres dérivation et limites. Elles servent à dériver ln(u) et à lever les formes indéterminées.
Conseil SprintMaths
Chaque ln impose une condition du type u(x) > 0. Savoir résoudre une inéquation du premier ou du second degré donne directement le domaine de travail.
Conseil SprintMaths
Calculer une dérivée, étudier son signe puis dresser un tableau de variation : c’est le cadre de presque toute étude de fonction contenant ln.
Pour chaque élément du programme : ce qu’il faut savoir faire, un test de deux minutes avec sa réponse, et la ressource SprintMaths pour t’entraîner. Si tu réussis le test sans notes, passe à la ligne suivante ; sinon, ouvre la ressource.
Programme · Contenu
Pour x > 0 et y réel, y = ln(x) équivaut à x = exp(y). En pratique : exp(ln x) = x pour x > 0, ln(exp x) = x pour tout réel x, ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Test rapide
Résous ln(x) = 2, puis eˣ = 5.
ln(x) = 2 équivaut à x = e², qui est bien strictement positif. eˣ = 5 équivaut à x = ln(5).
S’entraîner : Exercice corrigé : résoudre une équation avec ln
Programme · Contenu
Transformer ln(ab), ln(a/b), ln(1/a), ln(aⁿ) et ln(√a) pour a et b strictement positifs, sans jamais séparer ln(a + b).
Test rapide
Exprime ln(12) et ln(1/8) en fonction de ln(2) et ln(3).
ln(12) = ln(4 × 3) = 2 ln(2) + ln(3) et ln(1/8) = −ln(8) = −3 ln(2).
S’entraîner : Méthode logarithme : utiliser les propriétés de ln
Programme · Contenu
Connaître (ln x)′ = 1/x sur ]0 ; +∞[ et en déduire que ln est strictement croissante. Avec la dérivée d’une composée, dériver ln(u) en u′/u là où u est dérivable et strictement positive.
Test rapide
Dérive f(x) = ln(x² + 1) et donne ses variations.
x² + 1 > 0 pour tout réel x, donc f est définie et dérivable sur ℝ avec f′(x) = 2x/(x² + 1). f′ a le signe de x : f est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
S’entraîner : Exercice corrigé : dériver une fonction avec logarithme
Programme · Contenu
Quand x tend vers 0⁺, ln(x) tend vers −∞ ; quand x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞. Les courbes de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Test rapide
Donne le signe de ln(x) selon les valeurs de x.
ln(x) < 0 sur ]0 ; 1[, ln(1) = 0 et ln(x) > 0 sur ]1 ; +∞[ : c’est la stricte croissance de ln combinée à ln(1) = 0.
S’entraîner : Méthode logarithme : interpréter limites et variations
Programme · Contenu
Pour tout entier n ≥ 1 : ln(x)/xⁿ tend vers 0 quand x tend vers +∞, et xⁿ ln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0⁺. La puissance de x l’emporte sur le logarithme.
Test rapide
Calcule la limite de x − ln(x) quand x tend vers +∞.
C’est une forme indéterminée « +∞ − ∞ ». On factorise : x − ln(x) = x(1 − ln(x)/x). Comme ln(x)/x tend vers 0, la parenthèse tend vers 1, donc x − ln(x) tend vers +∞.
S’entraîner : Méthode logarithme : limites et croissances comparées
Programme · Capacité attendue
Écrire d’abord le domaine, se ramener à ln(A) = ln(B) ou ln(A) < ln(B), conclure avec la stricte croissance de ln, puis confronter les solutions au domaine.
Test rapide
Résous ln(2x − 1) ≤ 0.
Domaine : 2x − 1 > 0, soit x > 1/2. Comme 0 = ln(1), l’inéquation équivaut à 2x − 1 ≤ 1, soit x ≤ 1. Avec le domaine : S = ]1/2 ; 1].
S’entraîner : Méthode : équations et inéquations avec ln, garder le bon domaine
Programme · Capacité attendue
Mobiliser ln pour isoler un exposant, par exemple pour savoir à partir de quel rang une suite géométrique passe sous un seuil. Diviser par un logarithme négatif change le sens de l’inégalité.
Test rapide
Trouve le plus petit entier n tel que 0,8ⁿ < 0,01.
ln étant strictement croissante, 0,8ⁿ < 0,01 équivaut à n ln(0,8) < ln(0,01). Comme ln(0,8) < 0, on obtient n > ln(0,01)/ln(0,8) ≈ 20,6. Le plus petit entier est n = 21 : 0,8²⁰ ≈ 0,0115 et 0,8²¹ ≈ 0,0092.
S’entraîner : Exercices corrigés sur le logarithme
Programme · Démonstration
Dérivée de ln : la dérivabilité étant admise, on dérive exp(ln x) = x pour x > 0. On obtient (ln x)′ × exp(ln x) = 1, soit (ln x)′ × x = 1, donc (ln x)′ = 1/x.
Test rapide
Démontre que x ln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0⁺.
On pose X = ln(x), donc x = exp(X) et x ln(x) = X exp(X). Quand x tend vers 0⁺, X tend vers −∞. Avec Y = −X, X exp(X) = −Y/exp(Y), et Y/exp(Y) tend vers 0 quand Y tend vers +∞ par croissance comparée de l’exponentielle. Donc x ln(x) tend vers 0.
S’entraîner : Méthode logarithme : dériver une expression avec ln
Une formule de ln n’est juste que sous sa condition. Avant de l’appliquer, vérifie la colonne de droite.
| Formule | Condition |
|---|---|
| ln(x) existe | x > 0 |
| ln(u(x)) existe | u(x) > 0 |
| ln(1) = 0 et ln(e) = 1 | valeurs de référence |
| exp(ln x) = x | x > 0 |
| ln(exp x) = x | x réel quelconque |
| ln(ab) = ln(a) + ln(b) | a > 0 et b > 0. Exemple : ln(x(x − 1)) existe aussi pour x < 0, mais ne se sépare en ln(x) + ln(x − 1) que si x > 1. |
| ln(a/b) = ln(a) − ln(b) et ln(1/b) = −ln(b) | a > 0 et b > 0 |
| ln(aⁿ) = n ln(a) | a > 0 et n entier relatif. ln(x²) existe pour tout x ≠ 0, mais vaut 2 ln(|x|), pas 2 ln(x), lorsque x < 0. |
| ln(√a) = ½ ln(a) | a > 0 |
| ln(a) = ln(b) ⇔ a = b ; ln(a) < ln(b) ⇔ a < b | a > 0 et b > 0 |
| ln(x) = k ⇔ x = eᵏ | k réel quelconque ; la solution eᵏ est automatiquement strictement positive |
| (ln x)′ = 1/x | sur ]0 ; +∞[ |
| (ln u)′ = u′/u | sur un intervalle où u est dérivable et strictement positive |
| une primitive de 1/x est ln(x) | sur ]0 ; +∞[ |
| une primitive de u′/u est ln(u) | sur un intervalle où u est strictement positive et dérivable, avec u′ continue |
| ln(x) → −∞ quand x → 0⁺ ; ln(x) → +∞ quand x → +∞ | limites aux bornes de ]0 ; +∞[ |
| ln(x)/xⁿ → 0 quand x → +∞ ; xⁿ ln(x) → 0 quand x → 0⁺ | n entier, n ≥ 1 |
Pour voir ces conditions décider d’une réponse sur des équations rédigées comme sur une copie, lis la méthode logarithme sur les domaines.
L’ordre conseillé par SprintMaths, qui ne fait pas partie du texte officiel : partir des tests ratés plutôt que tout relire.
Commence par les propriétés de ln, puis passe aux équations et à la dérivation. Le but est d'apprendre à enchaîner les étapes en gardant l'œil sur le domaine.
Un exercice court pour transformer des expressions avec ln(ab), ln(a/b) et ln(aⁿ) sans erreur de domaine.
Un entraînement central pour se ramener à ln(A) = ln(B), résoudre, puis vérifier le domaine.
Un format type bac pour dériver une expression contenant ln et conclure sur les variations.
Si la fonction logarithme bloque, commence par un exercice guidé, puis utilise la méthode logarithme. Le diagnostic et le planning aident à transformer le blocage en plan de travail.
Texte applicable en 2026-2027, fixé par l’arrêté du 19 juillet 2019. La section « Fonction logarithme » figure dans la partie Analyse.
Nouveau programme de Terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 : il ne concerne pas l’année 2026-2027.
En 2026-2027, la spécialité mathématiques de Terminale suit le programme fixé par l'arrêté du 19 juillet 2019. Un nouveau programme a été publié par l'arrêté du 26 février 2026 (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026), mais il n'entre en application qu'à la rentrée 2027-2028.
Le programme introduit ln comme réciproque de l'exponentielle et liste ses propriétés algébriques, sa dérivée, ses variations, ses limites en 0 et en +∞, sa courbe et la croissance comparée avec x ↦ xⁿ. Les capacités attendues consistent à transformer une écriture, résoudre une équation ou une inéquation, et utiliser exp et ln dans une résolution de problème.
Deux démonstrations sont listées : le calcul de la dérivée de ln, sa dérivabilité étant admise, et la limite en 0 de x ln(x). Le programme cite aussi l'algorithme de Briggs comme exemple d'algorithme.
La section logarithme ne l'écrit pas telle quelle, mais elle découle de la dérivée d'une composée, (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u', qui figure au programme de Terminale. Elle s'applique sur un intervalle où u est dérivable et strictement positive.
Le texte officiel s'appuie sur la fonction exponentielle de Première : ses propriétés algébriques, son signe et sa stricte croissance. Il est aussi utile de revoir les tableaux de signes, pour les domaines, et l'étude des variations avec la dérivée.
Le texte de spécialité de Terminale ne le mentionne pas : ses contenus portent uniquement sur le logarithme népérien, noté ln.