P(A)
Probabilité que l'événement A se réalise dans l'univers probabilisé.
Méthode probabilités conditionnelles Terminale
Méthode : probabilités conditionnelles en Terminale
Cette méthode de probabilités conditionnelles en Terminale te donne une routine simple pour traduire un énoncé, construire un arbre pondéré et calculer une probabilité d'intersection sans mélanger les notations.
L'objectif est de savoir quoi faire dans l'ordre : définir les événements, repérer les données, multiplier un chemin, puis additionner les chemins quand la formule des probabilités totales est nécessaire.
Besoin d'un repère avant de t'entraîner ?
La méthode en 5 étapes
Cette méthode de probabilité conditionnelle en Terminale sert à garder une lecture stable, même quand l'énoncé contient des pourcentages et des compléments.
- 1Nommer les événements clairement.
- 2Distinguer P(A), P_A(B), P(A ∩ B).
- 3Placer les probabilités sur un arbre.
- 4Multiplier les branches pour une intersection.
- 5Additionner plusieurs chemins si nécessaire.
Étape 1 : identifier les événements
Commence par traduire l'énoncé en événements courts. Par exemple, A peut signifier “utilise l'application” et R peut signifier “réussit le test”. Cette définition évite de calculer avec des lettres vides.
Pense aussi au complémentaire : si A désigne les utilisateurs, alors non A désigne les non-utilisateurs. Dans un arbre pondéré Terminale méthode, ce complémentaire est souvent indispensable.
Étape 2 : repérer les probabilités données
P_A(B)
Probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé. On rencontre aussi la notation P(B | A).
P(A ∩ B)
Probabilité que A et B se réalisent en même temps.
Dans la formule des probabilités conditionnelles en Terminale, la phrase “parmi les élèves qui vérifient A” correspond à P_A(B), pas à P(A ∩ B). C'est le point qui change presque tout.
Définition d’une probabilité conditionnelle
Si P(A) ≠ 0 — donc P(A) > 0 — la probabilité de B sachant A est définie par
P_A(B) = P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).
On en déduit la formule du chemin : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
Étape 3 : construire un arbre pondéré
Pour savoir comment utiliser un arbre pondéré, place d'abord les événements A et non A sur la première séparation. Ensuite, depuis chaque branche, place les probabilités conditionnelles qui décrivent le résultat final.
Branche A
P(A) sur la première branche, puis P_A(R) et P_A(non R) sur les branches suivantes.
Branche non A
P(non A) sur la première branche, puis la probabilité de R sachant non A et celle de non R sachant non A.
Vérification simple : à chaque séparation, les deux branches complémentaires doivent avoir une somme égale à 1.
Étape 4 : calculer une intersection
Pour une probabilité intersection Terminale, on multiplie les probabilités d'un même chemin. La formule centrale est P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
Sur une copie, écris d'abord le chemin en mots, puis la formule. Cela montre que tu n'as pas confondu une probabilité conditionnelle avec une intersection.
Réflexe de calcul
Si P(A) = 0,3 et P_A(R) = 0,8, alors P(A ∩ R) = 0,3 × 0,8 = 0,24.
Étape 5 : utiliser les probabilités totales
Quand un événement peut arriver par plusieurs chemins différents, on calcule chaque chemin, puis on additionne. Pour un événement R, si les deux cas A et non A couvrent toute la situation, on écrit P(R) = P(A ∩ R) + P(non A ∩ R).
Attention : on n'additionne pas deux branches qui se suivent. On additionne seulement des chemins complets, incompatibles, qui mènent au même événement demandé.
Formule générale
Si A₁, …, Aₙ forment une partition de l’univers et si chaque P(Aᵢ) > 0, alors
P(B) = Σᵢ₌₁ⁿ P(Aᵢ ∩ B) = Σᵢ₌₁ⁿ P(Aᵢ)P(B | Aᵢ).
Indépendance ou incompatibilité ?
Événements incompatibles
Ils ne peuvent pas se réaliser ensemble : P(A ∩ B) = 0.
Événements indépendants
La réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre : P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Si P(A) > 0, l’indépendance équivaut aussi à P_A(B) = P(B). Deux événements incompatibles de probabilités toutes deux non nulles ne sont pas indépendants, puisque 0 ≠ P(A)P(B).
Trois exemples corrigés, du plus direct au plus complet
Exemple 1 — un chemin
Passer du conditionnement à l’intersection
P(A) = 0,4 et P_A(B) = 0,3. Alors P(A ∩ B) = 0,4 × 0,3 = 0,12.
Conclusion : la probabilité que A et B se réalisent ensemble vaut 0,12.
Exemple 2 — tester l’indépendance
Comparer une intersection à un produit
P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Or P(A)P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.
Conclusion : l’égalité caractéristique est vérifiée ; A et B sont indépendants.
Cas fréquent : reconnaître une loi binomiale
Une loi binomiale apparaît quand on répète n fois la même expérience, avec deux issues possibles, des essais indépendants et une probabilité de succès p constante.
Deux issues : succès ou échec.
La probabilité du succès reste la même.
Les répétitions sont indépendantes.
Si X compte le nombre de succès, on peut écrire X suit B(n ; p). Ce n'est pas un arbre à refaire n fois : c'est une situation de répétition que l'on reconnaît.
Exemple 3 : arbre pondéré complet
On applique la méthode sur un énoncé court, avec un arbre implicite et la formule des probabilités totales. La dernière question change de condition : on passe de P_A(R) à P_R(A).
Dans une population, 30 % des personnes utilisent une application A. Parmi les utilisateurs de A, 80 % réussissent un test. Parmi les non-utilisateurs, 50 % réussissent.
Notons A : “utilise l'application”, et R : “réussit”.
Questions
- Donner P(A).
- Donner P_A(R).
- Calculer P(A ∩ R).
- Calculer P(R).
- Calculer P_R(A), la probabilité de A sachant R.
Correction
P(A) = 0,3.
P_A(R) = 0,8.
P(A ∩ R) = 0,3 × 0,8 = 0,24.
P(non A) = 0,7.
P(non A ∩ R) = 0,7 × 0,5 = 0,35.
P(R) = 0,24 + 0,35 = 0,59.
P_R(A) = 0,24 / 0,59 ≈ 0,407.
Chemin A puis R0,3 × 0,8 = 0,24Chemin A puis non R0,3 × 0,2 = 0,06Chemin non A puis R0,7 × 0,5 = 0,35Chemin non A puis non R0,7 × 0,5 = 0,35
Conclusion rédigée : l’événement R est obtenu par les deux chemins incompatibles A ∩ R et non A ∩ R. D’après la formule des probabilités totales, P(R) = 0,24 + 0,35 = 0,59. La probabilité qu’une personne choisie au hasard réussisse le test est donc égale à 0,59.
Question 5 — changer de condition
Parmi les personnes qui réussissent, quelle proportion utilise A ?
Réponse courte : parmi les personnes qui réussissent, 24 sur 59 utilisent l’application. Donc P_R(A) = 24/59 ≈ 0,407, soit environ 40,7 %. Ce n’est pas 80 % : 80 % est P_A(R), la proportion de réussite parmi les utilisateurs.
La question commence par “parmi les personnes qui réussissent” : la condition est maintenant R, et non plus A. On cherche la probabilité de A sachant R, notée P_R(A) ou P(A | R).
Comme P(R) = 0,59 > 0, cette probabilité est définie. On divise l’intersection par la probabilité de la condition :
P_R(A) = P(A ∩ R) / P(R)= 0,24 / 0,59 = 24/59.
La valeur exacte est 24/59 ; arrondie au millième, elle vaut 0,407. Les deux nombres utiles sont déjà dans la correction : P(A ∩ R) vient du chemin A puis R, et P(R) de la formule des probabilités totales. Aucune formule supplémentaire n’est nécessaire.
Le même calcul sur 100 personnes fictives
Pour voir le dénominateur changer, imagine 100 personnes qui respectent exactement les pourcentages de l’énoncé : 30 utilisent A, dont 24 réussissent ; 70 n’utilisent pas A, dont 35 réussissent.
| R | non R | Total | |
|---|---|---|---|
| A | 24 | 6 | 30 |
| non A | 35 | 35 | 70 |
| Total | 59 | 41 | 100 |
P_A(R) : on lit la ligne A
Parmi les 30 utilisateurs, 24 réussissent : 24/30 = 0,8, soit 80 %.
P_R(A) : on lit la colonne R
Parmi les 59 personnes qui réussissent, 24 utilisent A : 24/59 ≈ 0,407, soit environ 40,7 %.
Le numérateur est le même, 24 : ce sont les personnes qui utilisent A et qui réussissent. Seul le groupe de référence change, 30 utilisateurs dans un cas, 59 personnes qui réussissent dans l’autre.
Erreur fréquente : se tromper de dénominateur
Répondre 0,8, c’est diviser par 30, le nombre d’utilisateurs : on obtient P_A(R). Répondre 0,24, c’est diviser par 100, toute la population : on obtient P(A ∩ R). La question porte sur les personnes qui réussissent, donc le dénominateur est 59.
Question de vérification
Parmi les personnes qui ne réussissent pas, quelle proportion utilise A ? Cherche d’abord le bon dénominateur dans le tableau.
Voir la réponse
La condition est non R, et P(non R) = 1 − 0,59 = 0,41 > 0. Donc P(A | non R) = P(A ∩ non R) / P(non R) = 0,06 / 0,41 = 6/41 ≈ 0,146. Dans le tableau, on lit la colonne non R : 6 personnes sur 41, soit environ 14,6 %.
Les données de cet exemple sont inventées pour l’exercice. Elles décrivent une répartition : elles ne permettent pas de conclure que l’application est la cause de la réussite.
S’entraîner sur les probabilités
La méthode devient solide quand tu alternes exercices courts, programme du chapitre et sujets guidés type bac.
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Travailler le chapitre dans le bon ordre
Commence par vérifier les notations, puis fais quelques arbres pondérés simples avant de passer aux exercices type bac.
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Mini-checklist avant de conclure
- J’ai défini chaque événement par une phrase.
- J’ai distingué P(A), P_A(B) et P(A ∩ B).
- J’ai repéré la condition : P_A(B) et P_B(A) n’ont pas le même dénominateur.
- À chaque nœud de l’arbre, la somme des branches vaut 1.
- J’ai multiplié les probabilités d’un même chemin.
- J’ai additionné uniquement des chemins incompatibles menant à l’événement demandé.
- J’ai vérifié l’égalité P(A ∩ B) = P(A)P(B) avant de conclure à l’indépendance.
- Ma dernière phrase interprète la probabilité dans le contexte.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre P(A ∩ B) et P_A(B) ?
P(A ∩ B) est la probabilité que A et B arrivent ensemble. Si P(A) > 0, P_A(B) est la probabilité de B sachant A et la relation utile est P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
Comment construire un arbre pondéré ?
On commence par les événements de départ, puis on ajoute les issues conditionnelles sur les branches suivantes. Sur chaque paire de branches complémentaires, les probabilités doivent faire 1. Un arbre pondéré sert surtout à ranger les données avant de calculer.
Quand multiplier les probabilités ?
On multiplie quand on suit un seul chemin dans l'arbre. Si P(A) > 0, le chemin A puis B donne P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
Quand additionner les chemins ?
On additionne quand plusieurs chemins différents mènent au même événement final. Chaque chemin doit d'abord être calculé par une multiplication, puis seulement ensuite on additionne.
Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
On découpe l'événement demandé selon des cas incompatibles qui couvrent toute la situation. Par exemple, P(R) = P(A ∩ R) + P(non A ∩ R).
Comment calculer P_R(A) quand l'énoncé donne P_A(R) ?
On revient à la définition : si P(R) > 0, P_R(A) = P(A ∩ R) / P(R). On calcule P(A ∩ R) en multipliant le chemin A puis R, et P(R) avec la formule des probabilités totales. Dans l'exemple 3 de cette page, P_A(R) = 0,8 alors que P_R(A) = 0,24 / 0,59 = 24/59 ≈ 0,407 : les deux probabilités n'ont pas le même dénominateur.
Que faire si je bloque sur un exercice de probabilités ?
Reviens aux événements : nomme-les, écris les données sous forme P(A), P_A(B) ou P(A ∩ B), puis dessine l'arbre. Si le blocage reste flou, commence par un exercice guidé ou par le diagnostic gratuit pour repérer l'étape à retravailler.