Produit
ln(ab) = ln(a) + ln(b), pour a > 0 et b > 0.
Méthode logarithme Terminale — méthode ln Terminale
Méthode : comment travailler le logarithme en Terminale
Devant un exercice avec ln, le but est de suivre une routine fiable : vérifier le domaine, utiliser les propriétés, résoudre, dériver, puis relier variations et limites. Cette méthode logarithme Terminale te donne les bons réflexes étape par étape.
Besoin d'un repère avant de t'entraîner ?
La méthode en 5 étapes
Cette routine évite de se lancer dans les calculs avant d'avoir sécurisé le domaine et choisi le bon outil.
- 1Vérifier que l'expression placée dans le ln est strictement positive.
- 2Identifier les propriétés utiles : produit, quotient, puissance.
- 3Pour résoudre ln(x) = a, passer à x = eᵃ.
- 4Pour dériver, utiliser (ln u)′ = u′/u quand c'est applicable.
- 5Relier dérivée, variations et limites pour conclure.
Étape 1 : vérifier le domaine de définition
La fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +∞[. Avant tout calcul, on écrit la condition d'existence : l'expression placée dans le logarithme doit être strictement positive.
C'est cette condition qui donne le domaine de définition logarithme terminale et qui élimine d'avance certaines valeurs. Beaucoup d'erreurs viennent simplement d'un domaine oublié.
Étape 2 : utiliser les propriétés de ln
Ces propriétés ne valent que pour des nombres strictement positifs. Elles servent à transformer une expression avant de résoudre ou de dériver.
Quotient
ln(a/b) = ln(a) − ln(b), pour a > 0 et b > 0.
Puissance
ln(aⁿ) = n × ln(a), pour a > 0 et n entier.
Étape 3 : résoudre une équation avec ln
ln(x) = a
On passe à l'exponentielle : ln(x) = a équivaut à x = eᵃ, avec x > 0. C'est la traduction directe pour comment résoudre une équation avec ln.
ln(A) = ln(B)
Comme ln est strictement croissante, l'équation équivaut à A = B, avec A > 0 et B > 0. On résout, puis on vérifie que les solutions appartiennent au domaine.
Étape 4 : dériver une expression avec ln
La dérivée logarithme terminale de référence est (ln x)′ = 1/x sur ]0 ; +∞[. Pour une expression composée ln(u), on utilise (ln u)′ = u′/u, valable quand u est strictement positive et dérivable.
Le réflexe à garder : on ne dérive jamais ln(u) comme si c'était ln(x). Il faut d'abord repérer u, puis appliquer u′/u.
Étape 5 : interpréter limites et variations
Le signe de la dérivée donne les variations. Comme 1/x est strictement positive sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est strictement croissante.
En 0⁺
Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers −∞. Une limites logarithme méthode classique à ne pas ignorer.
En +∞
Quand x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞, mais lentement. On utilise les croissances comparées, comme ln(x)/x qui tend vers 0.
Cas fréquent : ln d'une expression
Dès qu'un ln contient autre chose que x, on travaille avec ln(u). Le réflexe est toujours le même.
On identifie d'abord u, on vérifie que u > 0 pour fixer le domaine, puis on applique les bons outils : propriétés de ln pour transformer, et (ln u)′ = u′/u pour dériver.
Pièges fréquents à éviter
- Oublier le domaine : l'expression dans le ln doit être strictement positive.
- Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b), ce qui est faux : seul le produit se sépare.
- Oublier que ln(x) = a équivaut à x = eᵃ.
- Dériver ln(u) comme ln(x) au lieu d'utiliser u′/u.
- Ignorer les limites en 0⁺, alors que ln(x) tend vers −∞.
Exemple guidé
La rédaction doit montrer chaque étape : domaine, dérivée, puis résolution.
On considère f(x) = ln(x − 1). Déterminer le domaine, calculer f′(x), puis résoudre f(x) = 0.
Domaine : il faut x − 1 > 0, donc x > 1. Le domaine est ]1 ; +∞[.
Dérivée : avec u = x − 1 et u′ = 1, on a f′(x) = u′/u = 1/(x − 1).
Équation : f(x) = 0 donne ln(x − 1) = 0, donc x − 1 = 1, c'est-à-dire x = 2. Cette valeur est bien dans le domaine.
Équations et inéquations avec ln : garder le bon domaine
Dans l’exemple guidé, la valeur trouvée tombait d’elle-même dans le domaine. Ce n’est pas toujours le cas. Regrouper deux ln peut agrandir le domaine et faire apparaître une solution impossible ; séparer un ln peut au contraire le réduire et faire perdre des solutions.
Les deux résolutions qui suivent sont des exemples originaux SprintMaths, rédigés comme sur une copie. Dans les deux cas, le domaine est écrit en premier et décide de la réponse finale.
La routine en quatre temps
- 1Domaine : écrire toutes les conditions d’existence de l’énoncé de départ, avant de transformer quoi que ce soit.
- 2Transformations valides : regrouper, séparer ou comparer des ln seulement là où chaque logarithme utilisé existe.
- 3Solutions candidates : résoudre l’équation ou l’inéquation obtenue, qui ne contient plus de ln.
- 4Intersection et vérification : ne garder que les candidats situés dans le domaine, puis contrôler sur une valeur.
1. Une équation où une racine doit être rejetée
Résoudre dans ℝ : ln(x − 3) + ln(x + 2) = ln(14).
Domaine : les deux logarithmes doivent exister, donc x − 3 > 0 et x + 2 > 0, c’est-à-dire x > 3 et x > −2. Les deux conditions ensemble donnent D = ]3 ; +∞[.
Transformation valide : sur D, les nombres x − 3 et x + 2 sont strictement positifs. On peut donc regrouper la somme en un seul logarithme.
ln(x − 3) + ln(x + 2)= ln((x − 3)(x + 2))donc ln((x − 3)(x + 2)) = ln(14)
Comme ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, deux nombres strictement positifs qui ont le même logarithme sont égaux. Sur D, l’équation équivaut donc à :
(x − 3)(x + 2) = 14x² + 2x − 3x − 6 = 14x² − x − 20 = 0(x − 5)(x + 4) = 0
Solutions candidates : x = 5 ou x = −4. On vérifie la factorisation en développant : (x − 5)(x + 4) = x² − x − 20.
Intersection avec le domaine : 5 est dans D = ]3 ; +∞[, mais −4 n’y est pas.
Contrôle : pour x = 5, on obtient ln(2) + ln(7) = ln(2 × 7) = ln(14).
Pourquoi rejeter −4 ?
Pour x = −4, on a x − 3 = −7 et x + 2 = −2. Leur produit vaut bien 14, donc ln((x − 3)(x + 2)) existe. Mais dans l’équation de départ, ln(−7) et ln(−2) n’existent pas dans ℝ. Le regroupement a agrandi le domaine : −4 vérifie l’équation transformée, pas celle de l’énoncé.
Conclusion : l’équation a une seule solution, S = {5}.
2. Une inéquation dont le domaine a deux morceaux
Résoudre dans ℝ : ln((x − 1)/(x + 2)) ≥ 0.
Domaine : il faut x ≠ −2 pour que le quotient existe, et (x − 1)/(x + 2) > 0 pour que son logarithme existe. Le signe d’un quotient se lit dans un tableau de signes.
| x | −∞ | −2 | 1 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x − 1 | − | − | 0 | + | |||
| x + 2 | − | 0 | + | + | |||
| quotient | + | valeur interdite | − | 0 | + |
Le quotient est positif quand x − 1 et x + 2 ont le même signe : tous deux négatifs pour x < −2, tous deux positifs pour x > 1. En x = −2, le dénominateur s’annule : valeur interdite. En x = 1, le quotient vaut 0, et ln(0) n’existe pas. Le domaine est donc D = ]−∞ ; −2[ ∪ ]1 ; +∞[.
Transformation valide : on écrit 0 = ln(1). Comme ln est strictement croissante, pour tout x de D :
ln((x − 1)/(x + 2)) ≥ ln(1)⟺ (x − 1)/(x + 2) ≥ 1
On ne multiplie pas par x + 2, dont le signe change sur D. On passe tout du même côté et on réduit au même dénominateur :
(x − 1)/(x + 2) − 1 ≥ 0(x − 1 − (x + 2))/(x + 2) ≥ 0−3/(x + 2) ≥ 0
Solutions candidates : le numérateur −3 est négatif et ne s’annule jamais. Le quotient −3/(x + 2) est donc positif ou nul exactement quand x + 2 est strictement négatif, c’est-à-dire pour x < −2.
Intersection avec le domaine : ]−∞ ; −2[ est entièrement contenu dans D. Sur ]1 ; +∞[, le quotient s’écrit 1 − 3/(x + 2), qui reste strictement inférieur à 1 : aucune solution de ce côté.
Contrôle : pour x = −3, le quotient vaut (−4)/(−1) = 4 et ln(4) > 0 : −3 est bien solution. Pour x = 2, il vaut 1/4 et ln(1/4) < 0 : 2 n’est pas solution. Ces deux valeurs illustrent le résultat ; la preuve, elle, est le calcul fait sur tout D.
Le piège : séparer le ln dès le départ
L’égalité ln((x − 1)/(x + 2)) = ln(x − 1) − ln(x + 2) n’est vraie que si x − 1 et x + 2 sont tous deux strictement positifs, c’est-à-dire pour x > 1. Pour x < −2, ln(x − 1) n’existe pas. En séparant, on travaille donc sans le dire sur ]1 ; +∞[ seulement : on obtient x − 1 ≥ x + 2, soit −1 ≥ 2, impossible, et on conclut à tort qu’il n’y a aucune solution. Toute la branche x < −2 est perdue.
Conclusion : l’ensemble des solutions est S = ]−∞ ; −2[.
À retenir
- Le domaine se lit sur l’énoncé de départ, jamais sur une expression transformée.
- Regrouper ln(a) + ln(b) en ln(ab) peut faire apparaître des candidats en trop : on les élimine par intersection avec le domaine.
- Séparer ln(a/b) en ln(a) − ln(b) peut faire perdre des solutions : on ne le fait que là où a et b sont tous deux strictement positifs.
S'entraîner sur le logarithme
Le logarithme se maîtrise en alternant méthode courte et exercices corrigés. Commence par des cas simples, puis passe aux exercices type bac guidés.
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Questions fréquentes
Pourquoi le domaine de définition est-il important avec ln ?
La fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +∞[ : tout ce qui est placé dans un logarithme doit être strictement positif. Vérifier le domaine en premier évite de garder des solutions impossibles et oriente toute la résolution.
Quelle est la formule de dérivée de ln(u) ?
Pour une expression composée, (ln u)′ = u′/u, valable lorsque u est strictement positive et dérivable. Pour la fonction de base, (ln x)′ = 1/x sur ]0 ; +∞[. On ne dérive donc jamais ln(u) comme si c'était ln(x).
Comment résoudre ln(x) = a ?
On utilise que ln et l'exponentielle sont réciproques : ln(x) = a équivaut à x = eᵃ, avec x > 0. Quand l'équation est du type ln(A) = ln(B), elle équivaut à A = B car ln est strictement croissante, après vérification du domaine.
Quelle propriété de ln ne faut-il surtout pas utiliser ?
Il ne faut jamais écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : c'est faux. Seul le produit se sépare en somme, avec ln(ab) = ln(a) + ln(b). La somme à l'intérieur d'un ln ne se simplifie pas ainsi.
Comment gérer une limite avec logarithme ?
On retient deux comportements de référence : ln(x) tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives, et vers +∞ quand x tend vers +∞. Pour lever une forme indéterminée, on pense aux croissances comparées, comme ln(x)/x qui tend vers 0 en +∞.
Que faire si je bloque sur un exercice de ln ?
Il faut isoler l'étape qui coince : domaine, propriété de ln, équation, dérivée ou limite. Un exercice guidé ou le diagnostic permet de retravailler seulement la brique fragile au lieu de tout reprendre.