Produit
ln(ab) = ln(a) + ln(b), pour a > 0 et b > 0.
Méthode logarithme Terminale — méthode ln Terminale
Méthode : comment travailler le logarithme en Terminale
Devant un exercice avec ln, le but est de suivre une routine fiable : vérifier le domaine, utiliser les propriétés, résoudre, dériver, puis relier variations et limites. Cette méthode logarithme Terminale te donne les bons réflexes étape par étape.
Besoin d'un repère avant de t'entraîner ?
La méthode en 5 étapes
Cette routine évite de se lancer dans les calculs avant d'avoir sécurisé le domaine et choisi le bon outil.
- 1Vérifier que l'expression placée dans le ln est strictement positive.
- 2Identifier les propriétés utiles : produit, quotient, puissance.
- 3Pour résoudre ln(x) = a, passer à x = eᵃ.
- 4Pour dériver, utiliser (ln u)′ = u′/u quand c'est applicable.
- 5Relier dérivée, variations et limites pour conclure.
Étape 1 : vérifier le domaine de définition
La fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +∞[. Avant tout calcul, on écrit la condition d'existence : l'expression placée dans le logarithme doit être strictement positive.
C'est cette condition qui donne le domaine de définition logarithme terminale et qui élimine d'avance certaines valeurs. Beaucoup d'erreurs viennent simplement d'un domaine oublié.
Étape 2 : utiliser les propriétés de ln
Ces propriétés ne valent que pour des nombres strictement positifs. Elles servent à transformer une expression avant de résoudre ou de dériver.
Quotient
ln(a/b) = ln(a) − ln(b), pour a > 0 et b > 0.
Puissance
ln(aⁿ) = n × ln(a), pour a > 0 et n entier.
Étape 3 : résoudre une équation avec ln
ln(x) = a
On passe à l'exponentielle : ln(x) = a équivaut à x = eᵃ, avec x > 0. C'est la traduction directe pour comment résoudre une équation avec ln.
ln(A) = ln(B)
Comme ln est strictement croissante, l'équation équivaut à A = B, avec A > 0 et B > 0. On résout, puis on vérifie que les solutions appartiennent au domaine.
Étape 4 : dériver une expression avec ln
La dérivée logarithme terminale de référence est (ln x)′ = 1/x sur ]0 ; +∞[. Pour une expression composée ln(u), on utilise (ln u)′ = u′/u, valable quand u est strictement positive et dérivable.
Le réflexe à garder : on ne dérive jamais ln(u) comme si c'était ln(x). Il faut d'abord repérer u, puis appliquer u′/u.
Étape 5 : interpréter limites et variations
Le signe de la dérivée donne les variations. Comme 1/x est strictement positive sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est strictement croissante.
En 0⁺
Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers −∞. Une limites logarithme méthode classique à ne pas ignorer.
En +∞
Quand x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞, mais lentement. On utilise les croissances comparées, comme ln(x)/x qui tend vers 0.
Cas fréquent : ln d'une expression
Dès qu'un ln contient autre chose que x, on travaille avec ln(u). Le réflexe est toujours le même.
On identifie d'abord u, on vérifie que u > 0 pour fixer le domaine, puis on applique les bons outils : propriétés de ln pour transformer, et (ln u)′ = u′/u pour dériver.
Pièges fréquents à éviter
- Oublier le domaine : l'expression dans le ln doit être strictement positive.
- Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b), ce qui est faux : seul le produit se sépare.
- Oublier que ln(x) = a équivaut à x = eᵃ.
- Dériver ln(u) comme ln(x) au lieu d'utiliser u′/u.
- Ignorer les limites en 0⁺, alors que ln(x) tend vers −∞.
Exemple guidé
La rédaction doit montrer chaque étape : domaine, dérivée, puis résolution.
On considère f(x) = ln(x − 1). Déterminer le domaine, calculer f′(x), puis résoudre f(x) = 0.
Domaine :il faut x − 1 > 0, donc x > 1. Le domaine est ]1 ; +∞[.
Dérivée : avec u = x − 1 et u′ = 1, on a f′(x) = u′/u = 1/(x − 1).
Équation : f(x) = 0 donne ln(x − 1) = 0, donc x − 1 = 1, c'est-à-dire x = 2. Cette valeur est bien dans le domaine.
S'entraîner sur le logarithme
Le logarithme se maîtrise en alternant méthode courte et exercices corrigés. Commence par des cas simples, puis passe aux exercices type bac guidés.
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Questions fréquentes
Pourquoi le domaine de définition est-il important avec ln ?
La fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +∞[ : tout ce qui est placé dans un logarithme doit être strictement positif. Vérifier le domaine en premier évite de garder des solutions impossibles et oriente toute la résolution.
Quelle est la formule de dérivée de ln(u) ?
Pour une expression composée, (ln u)′ = u′/u, valable lorsque u est strictement positive et dérivable. Pour la fonction de base, (ln x)′ = 1/x sur ]0 ; +∞[. On ne dérive donc jamais ln(u) comme si c'était ln(x).
Comment résoudre ln(x) = a ?
On utilise que ln et l'exponentielle sont réciproques : ln(x) = a équivaut à x = eᵃ, avec x > 0. Quand l'équation est du type ln(A) = ln(B), elle équivaut à A = B car ln est strictement croissante, après vérification du domaine.
Quelle propriété de ln ne faut-il surtout pas utiliser ?
Il ne faut jamais écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : c'est faux. Seul le produit se sépare en somme, avec ln(ab) = ln(a) + ln(b). La somme à l'intérieur d'un ln ne se simplifie pas ainsi.
Comment gérer une limite avec logarithme ?
On retient deux comportements de référence : ln(x) tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives, et vers +∞ quand x tend vers +∞. Pour lever une forme indéterminée, on pense aux croissances comparées, comme ln(x)/x qui tend vers 0 en +∞.
Que faire si je bloque sur un exercice de ln ?
Il faut isoler l'étape qui coince : domaine, propriété de ln, équation, dérivée ou limite. Un exercice guidé ou le diagnostic permet de retravailler seulement la brique fragile au lieu de tout reprendre.