Terminale spécialité — combinatoire et dénombrement
La vraie difficulté n'est pas de calculer : c'est de répondre à deux questions avant tout calcul. Que dois-je compter ? Et dans quel ordre ?
Utilise d’abord le tableau de décision, puis justifie la méthode choisie avec les six exercices corrigés.
Le réflexe central
Décris d'abord l'objet final : une catégorie, une suite de choix, un ordre ou un groupe. La formule vient seulement après.
| Situation | Question à se poser | Méthode |
|---|---|---|
| Je répartis les possibilités en catégories incompatibles. | Un résultat peut-il appartenir à deux catégories ? | Principe additif : additionner les effectifs des cas disjoints. |
| Je fais plusieurs choix successifs. | Combien de possibilités restent à chaque étape ? | Principe multiplicatif : multiplier le nombre de choix de chaque étape. |
| J’ordonne tous les objets distincts. | Deux ordres différents comptent-ils comme deux résultats ? | Permutation de n objets : n!. |
| Je choisis puis j’ordonne k objets distincts parmi n. | L’ordre intervient-il et les répétitions sont-elles interdites ? | Produit n(n−1)…(n−k+1). |
| Je choisis k objets parmi n sans tenir compte de l’ordre. | Le groupe {A, B} est-il le même que {B, A} ? | Combinaison : C(n,k). |
| Je forme un sous-ensemble de taille quelconque. | Pour chaque élément, ai-je seulement le choix de le prendre ou non ? | Nombre de parties d’un ensemble à n éléments : 2ⁿ. |
Si un résultat appartient à exactement un cas parmi plusieurs cas incompatibles, l'effectif total est la somme des effectifs. Par exemple, choisir un dessert parmi 4 fruits ou 3 yaourts donne 4 + 3 = 7 choix.
Si les catégories se chevauchent, il faut d'abord retirer ou traiter l'intersection pour éviter un double comptage.
Si la construction exige plusieurs étapes et si le nombre de choix à chaque étape est fixé indépendamment des choix précédents, on multiplie ces nombres. Sinon, on sépare les cas ou on utilise un arbre. Un code de 3 lettres choisies parmi 26 avec répétition autorisée donne 26³ codes.
Sans répétition, les choix diminuent : 26 × 25 × 24.
Pour n ≥ 1, n! = n × (n−1) × … × 2 × 1. Par exemple, 4! = 24. La convention 0! = 1traduit le fait qu'il existe une seule façon d'ordonner aucun objet : ne rien placer.
Ordonner n objets distincts utilise tous les objets et donne n! permutations. Si l'on remplit seulement k positions sans répétition, on obtient n(n−1)…(n−k+1) listes ordonnées.
Pour n∈ℕ et k∈{0, …, n}, C(n,k) compte les parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. L'ordre ne compte pas : le groupe{A, B} est identique au groupe {B, A}.
| Propriété | Écriture | Interprétation |
|---|---|---|
| Calcul direct | C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) | Choisir k objets sans les ordonner. |
| Symétrie | C(n,k) = C(n,n−k) | Choisir les k objets gardés revient à choisir les n−k objets écartés. |
| Relation de Pascal | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | Pour 1≤k≤n−1, on sépare les groupes qui contiennent un élément fixé de ceux qui ne le contiennent pas. |
| Lien avec la loi binomiale | P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ | C(n,k) compte les positions possibles des k succès. |
Une partie est un sous-ensemble de taille quelconque, y compris l'ensemble vide et l'ensemble entier. Pour chacun des n éléments, deux choix sont possibles : le prendre ou ne pas le prendre. Il y a donc 2ⁿ parties. Avec 5 garnitures facultatives, on peut composer 2⁵ = 32 sélections différentes.
Exercice 1 — choix simples
Question : Une médiathèque propose 4 romans ou 3 bandes dessinées. Combien de livres différents peut-on choisir si l’on n’en prend qu’un ?
Additionner des catégories qui se chevauchent ferait compter certains livres deux fois.
Les deux catégories sont incompatibles : un livre de la liste est classé ici soit comme roman, soit comme bande dessinée.
4 + 3 = 7
On choisit dans un cas ou dans l’autre ; le principe additif est donc adapté.
On peut choisir 7 livres différents.
Exercice 2 — principe multiplicatif
Question : On dispose de 4 hauts, 3 pantalons et 2 paires de chaussures. Combien de tenues composées d’un article de chaque type peut-on former ?
Additionner 4, 3 et 2 alors que les choix doivent être réalisés successivement.
Pour chaque haut, 3 pantalons sont possibles et, pour chaque couple obtenu, 2 paires de chaussures restent possibles.
4 × 3 × 2 = 24
La tenue exige un premier choix et un deuxième et un troisième : on multiplie.
On peut former 24 tenues.
Exercice 3 — permutation
Question : Cinq élèves distincts passent successivement à l’oral. Combien d’ordres de passage sont possibles ?
Utiliser 5 choix à chaque place autoriserait qu’un même élève passe plusieurs fois.
On ordonne les cinq élèves : 5 choix pour la première place, puis 4, puis 3, puis 2, puis 1.
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5! = 120
Tous les objets sont distincts, tous sont utilisés et l’ordre compte : c’est une permutation.
Il existe 120 ordres de passage.
Exercice 4 — combinaison
Question : On choisit 3 délégués parmi 8 élèves, sans fonction particulière. Combien de groupes sont possibles ?
Compter séparément les ordres A-B-C, B-A-C, etc., alors qu’ils décrivent le même groupe.
Il faut choisir 3 personnes parmi 8 sans les ordonner : on utilise le coefficient binomial C(8,3).
C(8,3) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1)
C(8,3) = 56
Aucune fonction ne distingue les trois personnes ; seul le sous-ensemble choisi compte.
Il existe 56 groupes de trois délégués.
Exercice 5 — méthodes combinées
Question : Parmi 10 candidats, on choisit un président puis deux assesseurs de même statut. Combien de bureaux sont possibles ?
Ordonner les deux assesseurs entre eux les compterait deux fois.
On choisit d’abord le président, puis un groupe non ordonné de 2 assesseurs parmi les 9 personnes restantes.
10 × C(9,2)
10 × 36 = 360
Le rôle de président rend le premier choix distinct ; les deux assesseurs, eux, forment une combinaison.
On peut former 360 bureaux.
Exercice 6 — contexte probabiliste
Question : Une urne contient 5 boules rouges et 3 bleues. On en choisit 2 simultanément. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une boule de chaque couleur ?
Traiter le tirage simultané comme une liste ordonnée et compter rouge-bleu puis bleu-rouge séparément.
Les couples de boules sont équiprobables et non ordonnés. On dénombre tous les couples, puis les couples favorables.
Nombre total : C(8,2) = 28
Nombre favorable : C(5,1) × C(3,1) = 15
P(exactement une de chaque couleur) = 15/28 ≈ 0,536
Le dénombrement transforme la probabilité en rapport entre cas favorables et cas possibles équiprobables.
La probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur est 15/28, soit environ 53,6 %.
Poursuivre avec les chapitres liés
Si échanger deux éléments change le résultat, l'ordre compte. Si l'échange ne change rien, cherche plutôt une combinaison. Cette question évite l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Appliquer le dénombrement à la loi binomialeOn additionne des cas alternatifs et incompatibles. On multiplie lorsque le résultat final exige plusieurs choix successifs. Les mots « ou » et « puis » donnent un indice, mais il faut toujours vérifier la structure réelle du problème.
Une permutation ordonne tous les objets distincts, donc l’ordre compte. Une combinaison choisit k objets parmi n sans ordre : choisir A puis B forme le même groupe que choisir B puis A.
Il existe exactement une façon d’ordonner zéro objet : ne rien placer. Cette convention rend aussi cohérentes les formules n! = n × (n−1)! et C(n,0) = 1.
Oui. Le programme officiel de Terminale spécialité comprend la symétrie des coefficients binomiaux ainsi que la relation et le triangle de Pascal.
Oui, il peut être évalué. Depuis la session 2024, l’épreuve porte sur l’ensemble du programme de Terminale en vigueur, qui comprend la combinatoire et le dénombrement. Cela ne permet pas de garantir qu’un sujet précis en contiendra.