Polynôme
On augmente l'exposant de 1 et on divise par le nouvel exposant : une primitive de x² est x³/3.
Méthode intégrales Terminale — primitive et aire sous la courbe
Méthode : intégrales en Terminale
Pour réussir les intégrales au bac, l'objectif est de suivre une routine stable : lire les bornes, reconnaître une primitive, calculer F(b)-F(a), puis interpréter le résultat sans confondre intégrale et aire.
Cette fiche explique comment calculer une intégrale en Terminale, quand parler d'aire sous la courbe, et quels pièges surveiller dans la rédaction.
Besoin d'un repère avant de t'entraîner ?
La méthode en 5 étapes
Cette méthode intégrales Terminale sert à garder le même ordre de travail dans un calcul pur, une question d'aire ou un exercice contextualisé.
- 1Identifier la fonction f et les bornes a et b.
- 2Trouver une primitive F de f.
- 3Calculer F(b)-F(a).
- 4Interpréter le résultat selon le contexte.
- 5Vérifier signe, cohérence et conclusion.
Étape 1 : identifier la fonction et les bornes
Dans une intégrale de la forme ∫_a^b f(x) dx, commence par entourer la fonction f, la borne de départ a et la borne d'arrivée b. Les bornes indiquent l'intervalle sur lequel le calcul se fait.
Si l'énoncé demande une aire sous la courbe, vérifie aussi le signe de f sur cet intervalle. Si l'énoncé demande une interprétation concrète, note l'unité de f avant de calculer.
Étape 2 : trouver une primitive
Primitive et intégrale méthode : le réflexe est de chercher F telle que F′ = f, puis de vérifier rapidement en dérivant.
Exponentielle
La fonction eˣ est sa propre primitive. Pour eᵘ, on vérifie si un facteur u′ apparaît.
Vérification
Après avoir choisi F, on dérive F mentalement : si F′ = f, la primitive est cohérente.
Pour une intégrale définie, la constante d'intégration n'est pas utile : si on remplace F par F + C, le C disparaît dans F(b)-F(a).
Étape 3 : calculer F(b)-F(a)
Une fois la primitive F trouvée, écris la ligne de calcul dans cet ordre : ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a). La borne du haut vient toujours en premier.
Réflexe anti-erreur
Quand F(a) contient plusieurs termes, garde les parenthèses : F(b) - (F(a)). C'est souvent là que le signe se perd.
Étape 4 : interpréter le résultat
Un résultat d'intégrale peut être une aire, une quantité cumulée, une distance, une variation ou une valeur sans unité selon le contexte. La conclusion doit donc reprendre les mots de l'énoncé.
Pour réussir les intégrales au bac, ne t'arrête pas au nombre : précise ce qu'il signifie, surtout dans les exercices avec vitesse, densité, coût ou aire.
Étape 5 : vérifier le signe et les unités
Signe
Si f est positive sur [a ; b], l'intégrale doit être positive. Si tu obtiens un signe surprenant, vérifie l'ordre des bornes et le calcul de F(a).
Unités
L'unité d'une intégrale combine souvent celle de f avec celle de x. Par exemple, intégrer une vitesse en km/h sur une durée en h donne une distance en km.
Cas fréquent : aire sous la courbe
Aire sous la courbe intégrale méthode : l'interprétation dépend du signe de la fonction.
Si f est positive
L'intégrale ∫_a^b f(x) dx représente l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
Si f est négative ou change de signe
L'intégrale donne une aire signée. Pour une aire géométrique, il faut découper aux changements de signe et additionner les surfaces positives.
Exemple guidé
On applique la méthode sur un calcul court avec primitive directe.
Calculer ∫_1^3 (2x+1) dx.
Méthode
La fonction est f(x) = 2x + 1.
Les bornes sont a = 1 et b = 3.
Une primitive de f est F(x) = x² + x.
Calcul
F(3) = 3² + 3 = 12.
F(1) = 1² + 1 = 2.
F(3)-F(1)=12-2=10.
La valeur de l'intégrale est donc 10. Comme 2x + 1 est positive sur [1 ; 3], ce nombre correspond aussi à l'aire sous la courbe sur cet intervalle.
S’entraîner sur les intégrales
La méthode devient automatique en alternant calculs directs, questions d'aire et sujets type bac.
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Reprendre les intégrales dans un vrai parcours
Commence par des primitives simples, puis passe aux aires sous la courbe et aux exercices type bac avec interprétation.
Faire des exercices sur les intégralesContinuer autour des intégrales
Questions fréquentes
Comment commencer un exercice d’intégrale ?
Commence par identifier la fonction f, les bornes a et b, puis la question posée : calcul exact, aire, moyenne ou interprétation dans un contexte. Cette lecture évite de chercher une primitive avant de savoir ce que l'intégrale représente.
Comment trouver une primitive ?
On reconnaît la forme de f à partir des primitives usuelles, puis on ajuste les coefficients. Le meilleur contrôle est de dériver la fonction proposée : si F′(x) = f(x), alors F est bien une primitive de f.
Pourquoi calcule-t-on F(b)-F(a) ?
Si F est une primitive de f sur l'intervalle étudié, le théorème fondamental donne ∫ de a à b f(x) dx = F(b)-F(a). On évalue donc la primitive à la borne du haut, puis on retire la valeur à la borne du bas.
Quelle différence entre aire et intégrale ?
Une intégrale est un calcul algébrique qui peut être positif, nul ou négatif. Elle représente directement une aire seulement lorsque la fonction est positive sur l'intervalle. Sinon, il faut raisonner avec des aires signées ou découper l'intervalle.
Que faire si la fonction change de signe ?
Il faut repérer les points où f s'annule, découper l'intervalle, puis traiter séparément les zones positives et négatives. Pour une aire géométrique, on additionne les valeurs absolues des intégrales sur chaque morceau.
Comment éviter les erreurs avec les bornes ?
Écris systématiquement [F(x)] de a à b, puis F(b)-F(a) sur la ligne suivante. Garde les parenthèses autour de F(a), surtout quand cette valeur est négative ou contient plusieurs termes.