Primitive avec condition
Pour f(x)=2x, les primitives sont F(x)=x²+C. Si F(3)=11, alors 9+C=11, donc C=2. L'unique primitive demandée est F(x)=x²+2.
Terminale spécialité — primitives
Calculer une primitive en Terminale : méthode complète
Reconnais la forme, propose une primitive, puis dérive-la. Cette vérification transforme un tableau de formules en méthode fiable.
Cette page répond à « comment trouver une primitive ? ». La page intégrales traite séparément le calcul entre deux bornes et l’interprétation d’une aire.
Qu’est-ce qu’une primitive ?
F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F’(x)=f(x) pour tout x de I.La mention de I est indispensable : une formule peut être valable sur un intervalle qui n'inclut pas une valeur interdite.
Une primitive n'est pas unique. Si F convient, alors F+C convient pour toute constante réelle C. Par exemple, les primitives de 2x sur ℝ sont x²+C, car la dérivée de chaque constante est nulle.
Tableau des primitives usuelles
Le tableau se lit à l'envers du tableau des dérivées. La constante +C est sous-entendue dans chaque ligne lorsque l'on cherche toutes les primitives.
| f(x) | Une primitive F(x) | Condition / vérification |
|---|---|---|
| a | ax | Sur ℝ ; (ax)’ = a. |
| xⁿ, n entier et n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n+1) | Sur ℝ si n ≥ 0 ; sur un intervalle ne contenant pas 0 si n < 0. |
| 1/√x | 2√x | Sur ]0 ; +∞[ ; (2√x)’ = 1/√x. |
| 1/x | ln|x| | Sur tout intervalle inclus dans ℝ* ; (ln|x|)’ = 1/x. |
| eˣ | eˣ | Sur ℝ ; (eˣ)’ = eˣ. |
| cos(x) | sin(x) | Sur ℝ ; (sin x)’ = cos x. |
| sin(x) | −cos(x) | Sur ℝ ; (−cos x)’ = sin x. |
Comment reconnaître la bonne forme ?
| Expression observée | Forme à reconnaître | Primitive possible |
|---|---|---|
| u’(x)u(x)ᵐ, m∈ℤ\{−1} | Dérivée d’une puissance composée | u(x)ᵐ⁺¹/(m+1), sur un intervalle de définition où u ne s’annule pas si m<0 |
| u’(x)/u(x) | Dérivée de ln|u| | ln|u(x)| sur un intervalle où u ne s’annule pas |
| u’(x)eᵘ⁽ˣ⁾ | Dérivée d’une exponentielle composée | eᵘ⁽ˣ⁾ |
| u’(x)cos(u(x)) | Dérivée d’un sinus composé | sin(u(x)) |
| u’(x)sin(u(x)) | Opposé de la dérivée d’un cosinus composé | −cos(u(x)) |
La méthode en 4 étapes
- 1ReconnaîtreRepère une fonction de référence ou une composée et précise l’intervalle.
- 2ProposerÉcris une primitive candidate, avec le bon facteur multiplicatif.
- 3DériverCalcule la dérivée de cette candidate sans sauter la chaîne de dérivation.
- 4VérifierCompare avec f sur tout l’intervalle, puis ajoute +C ou utilise la condition donnée.
Pont vers les équations différentielles
Résoudre y’=f revient à chercher toutes les primitives de f. Une condition initiale y(x₀)=y₀ fixe ensuite la constante. Les équations y’=ay ou y’=ay+b utilisent d'autres familles de solutions, détaillées sur la page dédiée.
Primitive ou intégrale : que demande l’exercice ?
« Déterminer une primitive »
La réponse est une fonction F, ou la famille F+C. On vérifie en dérivant.
« Calculer ∫ₐᵇ f(x) dx »
Si f est continue sur un intervalle contenant a et b et si F y est une primitive de f, la réponse est le nombre F(b)−F(a). La constante disparaît et on n'écrit pas +C dans le résultat final.
Six exemples corrigés pas à pas
Exemple 1 — polynôme
Primitiver 6x² − 4
Question : Déterminer toutes les primitives de f(x) = 6x² − 4 sur ℝ.
Piège à éviter
Diviser 6 par 2 au lieu de diviser par le nouvel exposant 3.
Méthode
Primitiver séparément chaque terme grâce à la linéarité.
Calcul
∫ 6x² dx = 6 × x³/3 = 2x³
∫ (−4) dx = −4x
Pourquoi cette méthode ?
La dérivée de 2x³ − 4x + C vaut bien 6x² − 4 sur ℝ.
Réponse
Les primitives sont F(x) = 2x³ − 4x + C, avec C ∈ ℝ.
Exemple 2 — exponentielle
Primitiver 3eˣ
Question : Déterminer toutes les primitives de f(x) = 3eˣ sur ℝ.
Piège à éviter
Modifier l’exponentielle alors que la dérivée de eˣ est eˣ.
Méthode
Conserver eˣ et le facteur constant 3.
Calcul
F(x) = 3eˣ + C
F’(x) = 3eˣ
Pourquoi cette méthode ?
L’exponentielle est sa propre dérivée.
Réponse
Les primitives sont F(x) = 3eˣ + C, avec C ∈ ℝ.
Exemple 3 — somme simple
Associer polynôme et cosinus
Question : Déterminer les primitives de f(x) = 2x + cos(x) sur ℝ.
Piège à éviter
Écrire −sin(x) comme primitive de cos(x).
Méthode
Utiliser la linéarité et lire le tableau des dérivées à l’envers.
Calcul
∫ 2x dx = x²
∫ cos(x) dx = sin(x)
Pourquoi cette méthode ?
La dérivée de sin(x) est cos(x), tandis que celle de −cos(x) est sin(x).
Réponse
F(x) = x² + sin(x) + C, avec C ∈ ℝ.
Exemple 4 — forme composée
Reconnaître u’eᵘ
Question : Déterminer les primitives de f(x) = 2x e^(x²) sur ℝ.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que le facteur 2x est exactement la dérivée de x².
Méthode
Poser u(x) = x² ; alors u’(x) = 2x et f = u’eᵘ.
Calcul
F(x) = e^(x²) + C
F’(x) = 2x e^(x²)
Pourquoi cette méthode ?
La composition eᵘ a pour dérivée u’eᵘ.
Réponse
Les primitives sont F(x) = e^(x²) + C, avec C ∈ ℝ.
Exemple 5 — condition initiale
Déterminer la constante
Question : Trouver la primitive F de f(x) = 3x² qui vérifie F(1) = 5.
Piège à éviter
S’arrêter à x³ + C sans utiliser la condition donnée.
Méthode
Écrire la famille des primitives, puis remplacer x par 1.
Calcul
F(x) = x³ + C
F(1) = 1 + C = 5
C = 4
Pourquoi cette méthode ?
La condition F(1)=5 sélectionne une seule constante dans la famille F+C.
Réponse
L’unique primitive demandée est F(x) = x³ + 4.
Exemple 6 — vérification
Vérifier une primitive proposée
Question : Vérifier que F(x) = (2x+1)⁴/8 est une primitive de f(x) = (2x+1)³ sur ℝ.
Piège à éviter
Comparer seulement les expressions sans dériver F.
Méthode
Dériver la composée en faisant apparaître la dérivée de 2x+1.
Calcul
F’(x) = (1/8) × 4(2x+1)³ × 2
F’(x) = (2x+1)³ = f(x)
Pourquoi cette méthode ?
La définition exige l’égalité F’ = f pour tout x de l’intervalle.
Réponse
F est bien une primitive de f sur ℝ.
Quatre mini-exercices
Cherche une réponse, puis ouvre la correction détaillée.
1. Déterminer les primitives de 5x⁴ sur ℝ.
Une primitive est x⁵, car (x⁵)’=5x⁴. Toutes les primitives sont x⁵+C, avec C réel.
2. Déterminer les primitives de 3/(3x−1).
Sur tout intervalle ne contenant pas 1/3, on reconnaît u’/u avec u=3x−1 et u’=3. Les primitives sont ln|3x−1|+C.
3. Déterminer les primitives de −sin(x)+2eˣ sur ℝ.
Une primitive de −sin(x) est cos(x), et une primitive de 2eˣ est 2eˣ. On obtient cos(x)+2eˣ+C.
4. Trouver F si F’(x)=4x et F(2)=1.
F(x)=2x²+C. La condition donne 8+C=1, donc C=−7. Ainsi F(x)=2x²−7.
Erreurs fréquentes
- • Oublier +C lorsqu’on demande toutes les primitives.
- • Ajouter +C au résultat final d’une intégrale définie F(b)−F(a).
- • Confondre le sens dérivée → fonction avec le sens fonction → primitive.
- • Ne pas dériver la primitive proposée pour la vérifier.
- • Utiliser ln|u| alors que u s’annule sur l’intervalle étudié.
- • Oublier le facteur créé ou exigé par la dérivation d’une composée.
Mémo : trouver et vérifier une primitive
- J’ai précisé l’intervalle sur lequel je cherche la primitive.
- J’ai identifié une fonction de référence ou une forme composée.
- J’ai conservé les facteurs constants utiles.
- J’ai contrôlé les conditions de domaine, notamment pour 1/x et u’/u.
- J’ai ajouté +C si toutes les primitives sont demandées.
- J’ai utilisé la condition F(x₀)=y₀ pour déterminer C si nécessaire.
- J’ai dérivé mon résultat et retrouvé exactement f.
- Je n’ai pas ajouté de constante au résultat d’une intégrale définie.
Ressources liées sans confondre les intentions
Le contrôle le plus rentable
Dérive toujours ton résultat. Une mauvaise constante multiplicative, un signe oublié ou un domaine impossible apparaît immédiatement.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une primitive d’une fonction ?
Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I lorsque F est dérivable sur I et que F’(x)=f(x) pour tout x de I.
Pourquoi ajoute-t-on une constante C ?
La dérivée d’une constante est nulle. Si F est une primitive de f, alors F+C l’est aussi. Réciproquement, deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Comment vérifier une primitive ?
On dérive l’expression proposée sur l’intervalle indiqué. Si la dérivée obtenue est exactement la fonction de départ sur tout cet intervalle, la primitive est correcte.
Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?
Une primitive est une fonction F telle que F’=f. Si f est continue sur un intervalle contenant a et b et si F y est une primitive de f, alors l’intégrale définie entre a et b est le nombre F(b)−F(a).
Les primitives sont-elles évaluables à l’écrit du Bac 2027 ?
Oui. Depuis la session 2024, l’épreuve porte sur l’ensemble du programme de Terminale en vigueur, qui comprend les primitives. Cela ne garantit pas qu’un sujet précis comportera une question sur ce chapitre.