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SprintMathsDiagnostic

Fiche de référence — Terminale spécialité maths

Formules à connaître pour le Bac Maths Terminale

Retrouve rapidement les formules essentielles, les hypothèses à vérifier et les erreurs classiques. Cette fiche aide à mémoriser ; les liens de méthode montrent ensuite comment les appliquer.

Dans la fenêtre d'impression, tu peux aussi choisir « Enregistrer au format PDF » si ton navigateur le propose.

6 applications corrigées pour choisir la bonne formule

Une fiche sert aussi à s’entraîner. Cherche chaque réponse avant d’ouvrir sa correction, puis vérifie les conditions, les indices et le sens de la question. Ces exemples sont des entraînements originaux SprintMaths.

Suites : partir du bon indice

Une suite géométrique vérifie u₁ = 3 et q = 2. Calcule u₅, puis u₁ + … + u₅.

Voir la correction
  1. Entre les rangs 1 et 5, il y a 4 multiplications : u₅ = 3 × 2⁴ = 48.
  2. La somme contient 5 termes. On factorise le premier : S = 3(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴).
  3. Ainsi S = 3 × (1 − 2⁵)/(1 − 2) = 93.

Piège à éviter : L’exposant pour u₅ vaut 4 ; celui de la formule de somme vaut 5. Ils ne comptent pas la même chose.

Retrouver les formules de suites

Dérivation : reconnaître une composée

Dérive f(x) = ln(2x + 1) et précise le domaine où ta réponse est valable.

Voir la correction
  1. Le logarithme exige 2x + 1 > 0 : on travaille sur ]−1/2 ; +∞[.
  2. On pose u(x) = 2x + 1, donc u′(x) = 2. La formule est (ln u)′ = u′/u.
  3. On obtient f′(x) = 2/(2x + 1), uniquement sur cet intervalle.

Piège à éviter : Écrire 1/(2x + 1) oublie la dérivée de la fonction intérieure. Étendre la réponse à tout réel oublie le domaine de f.

Revoir les règles de dérivation

Limites : transformer avant de remplacer

Calcule la limite de (x² − 4)/(x − 2) lorsque x tend vers 2.

Voir la correction
  1. La substitution directe donne 0/0 : elle ne fournit aucune valeur de limite.
  2. Pour x ≠ 2, on factorise x² − 4 = (x − 2)(x + 2), puis on simplifie le quotient en x + 2.
  3. La limite cherchée est donc 4. La fonction initiale reste non définie en 2.

Piège à éviter : Une limite peut exister en un point où l’expression n’est pas définie. On ne conclut ni 0 ni 1 à partir de 0/0.

Retrouver les règles de limites

Intégrales : une primitive, puis deux bornes

Calcule exactement l’intégrale de 0 à 1 de 2x/(x² + 1).

Voir la correction
  1. On reconnaît u′/u avec u(x) = x² + 1. Ce dénominateur est strictement positif sur [0 ; 1].
  2. Une primitive est F(x) = ln(x² + 1). On utilise F(1) − F(0).
  3. Le résultat vaut ln(2) − ln(1) = ln(2). Aucune approximation décimale n’est nécessaire.

Piège à éviter : La réponse à une intégrale définie est un nombre. La constante d’une primitive s’annule dans la différence des deux bornes.

Revoir primitives et intégrales

Probabilités : exactement ou au moins ?

Trois essais indépendants réussissent chacun avec probabilité 0,2. Quelle est la probabilité d’au moins un succès ?

Voir la correction
  1. Les trois épreuves ont deux issues, sont indépendantes et gardent la même probabilité : X suit la loi binomiale de paramètres 3 et 0,2.
  2. « Au moins un » correspond à X ≥ 1. L’événement contraire est X = 0.
  3. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8³ = 0,488, soit 48,8 %.

Piège à éviter : P(X = 1) = 3 × 0,2 × 0,8² = 0,384 ne répond pas à la question : cette valeur exclut deux ou trois succès.

Retrouver les formules de probabilités

Géométrie : vérifier la formule par les coordonnées

Dans un repère orthonormé, A(1 ; 0 ; 2) et B(3 ; 1 ; 0). Calcule la distance AB.

Voir la correction
  1. Le vecteur AB a pour coordonnées (3 − 1 ; 1 − 0 ; 0 − 2) = (2 ; 1 ; −2).
  2. On utilise la norme euclidienne : AB² = 2² + 1² + (−2)² = 9.
  3. Une distance est positive : AB = √9 = 3.

Piège à éviter : Les carrés portent sur les différences de coordonnées. Ne calcule pas la différence des carrés et n’oublie pas la racine finale.

Revoir les formules de géométrie

Comprendre les équations différentielles

La page dédiée distingue y' = ay, y' = ay + b, solution générale et condition initiale avec quatre exercices corrigés.

Voir la méthode complète

Chapitre

Suites

Commence toujours par identifier l’indice de départ et la nature de la suite. Les formules changent si l’on part de u₀, de u₁ ou d’un rang p.

Suite arithmétique

uₙ = uₚ + (n − p)r
Conditions d’utilisation
La différence uₙ₊₁ − uₙ est constante et égale à r. Les rangs n et p appartiennent à l’ensemble de définition.
À quoi elle sert
Pour n ≥ p, on ajoute r à chacun des n − p passages ; pour n < p, on retranche r à chacun des p − n passages.
Erreur fréquente
Écrire uₙ = u₀ + nr alors que la suite commence à u₁, sans adapter l’indice.
Méthode : étudier une suite

Somme de termes arithmétiques consécutifs

S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2
Conditions d’utilisation
Les termes additionnés sont consécutifs dans une même suite arithmétique, de uₚ à uₙ avec p ≤ n.
À quoi elle sert
Le nombre de termes de uₚ à uₙ inclus est n − p + 1.
Erreur fréquente
Utiliser n comme nombre de termes sans vérifier le premier indice de la somme.
Méthode : étudier une suite

Suite géométrique

Si n > p : uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ ; si q ≠ 0, la formule vaut pour tous n et p
Conditions d’utilisation
Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante q. Pour n = p, on a simplement uₙ = uₚ. La condition q ≠ 0 évite une puissance négative de 0 lorsque n < p.
À quoi elle sert
Pour n ≥ p, on multiplie par q à chacun des n − p passages ; pour n < p et q ≠ 0, on divise par q à chacun des p − n passages.
Erreur fréquente
Confondre la raison multiplicative q avec une différence constante.
Méthode : étudier une suite

Somme géométrique

1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)
Conditions d’utilisation
q ≠ 1. Pour une somme commençant ailleurs ou ayant un premier terme différent de 1, il faut factoriser ce premier terme.
À quoi elle sert
La puissance du numérateur correspond au nombre de termes de la somme.
Erreur fréquente
Oublier que de q⁰ à qⁿ, il y a n + 1 termes.
Méthode : étudier une suite

Limite d’une suite géométrique

Si −1 < q < 1, alors qⁿ → 0 ; si q > 1, alors qⁿ → +∞
Conditions d’utilisation
n tend vers +∞. Pour q = 1, qⁿ = 1 ; pour tout q ≤ −1, la suite qⁿ ne converge pas.
À quoi elle sert
La valeur absolue de q détermine si les puissances se rapprochent de 0 ou grandissent.
Erreur fréquente
Affirmer que qⁿ tend toujours vers 0 dès que q < 1, en oubliant les valeurs q ≤ −1.
Méthode : étudier une suite

Convergence monotone

Croissante et majorée ⇒ convergente ; décroissante et minorée ⇒ convergente
Conditions d’utilisation
La monotonie et la borne doivent être démontrées sur tous les rangs concernés.
À quoi elle sert
Le théorème garantit l’existence d’une limite finie, sans en donner directement la valeur.
Erreur fréquente
Conclure que la limite est égale au majorant ou au minorant utilisé.
Méthode : étudier une suite

Raisonnement par récurrence

Initialisation + [P(k) ⇒ P(k + 1)] ⇒ P(n) pour tout n ≥ n₀
Conditions d’utilisation
L’initialisation est faite au premier rang n₀ concerné et l’hérédité est démontrée pour un entier k ≥ n₀ arbitraire.
À quoi elle sert
Ce n’est pas une formule de calcul : c’est une structure de démonstration.
Erreur fréquente
Utiliser P(k + 1) pendant l’hérédité avant de l’avoir démontrée.
Méthode : étudier une suite

Chapitre

Limites

Les opérations sur les limites ne s’appliquent directement que lorsqu’elles ne conduisent pas à une forme indéterminée.

Somme et produit de limites finies

Si f → ℓ et g → ℓ′, alors f + g → ℓ + ℓ′ et fg → ℓℓ′
Conditions d’utilisation
Les limites ℓ et ℓ′ sont finies. Avec des limites infinies, il faut consulter les règles de signe et repérer les formes indéterminées.
À quoi elle sert
Une somme ou un produit se traite terme à terme quand aucune indétermination n’apparaît.
Erreur fréquente
Écrire +∞ − ∞ = 0 : cette écriture est une forme indéterminée, pas un calcul.
Méthode : calculer une limite

Quotient de limites finies

Si f → ℓ et g → ℓ′ avec ℓ′ ≠ 0, alors f / g → ℓ / ℓ′
Conditions d’utilisation
Le dénominateur a une limite non nulle. Si g tend vers 0, son signe doit être étudié.
À quoi elle sert
La condition ℓ′ ≠ 0 permet de diviser les limites.
Erreur fréquente
Conclure automatiquement à l’infini lorsqu’un dénominateur tend vers 0, sans étudier son signe ni le numérateur.
Méthode : calculer une limite

Puissances et inverses usuels

Quand x → +∞ : xⁿ → +∞ et 1 / xⁿ → 0, pour n ≥ 1
Conditions d’utilisation
n est un entier naturel non nul. En −∞, la parité de n détermine le signe de xⁿ.
À quoi elle sert
Les puissances positives grandissent en valeur absolue et leurs inverses se rapprochent de 0.
Erreur fréquente
Oublier la parité pour la limite de xⁿ lorsque x tend vers −∞.
Méthode : calculer une limite

Croissance comparée de l’exponentielle

Quand x → +∞ : eˣ / xⁿ → +∞ et xⁿ / eˣ → 0
Conditions d’utilisation
n est un entier naturel. La comparaison concerne la limite en +∞.
À quoi elle sert
L’exponentielle domine toute puissance de x à l’infini.
Erreur fréquente
Appliquer cette comparaison en une borne finie ou sans avoir ramené l’expression à la forme adaptée.
Méthode : calculer une limite

Croissance comparée du logarithme

Quand x → +∞ : ln(x) / x → 0
Conditions d’utilisation
x > 0 et x tend vers +∞.
À quoi elle sert
Le logarithme croît plus lentement que la fonction x.
Erreur fréquente
Utiliser ln(x) lorsque x ≤ 0 ou oublier de préciser la borne.
Méthode : calculer une limite

Théorème des gendarmes

g ≤ f ≤ h et g → ℓ, h → ℓ ⇒ f → ℓ
Conditions d’utilisation
Les inégalités sont vraies au voisinage de la borne étudiée et les deux fonctions encadrantes ont la même limite ℓ.
À quoi elle sert
Un encadrement permet d’obtenir une limite quand le calcul direct n’est pas adapté.
Erreur fréquente
Utiliser deux fonctions encadrantes qui n’ont pas la même limite.
Méthode : calculer une limite

Théorème des valeurs intermédiaires

f continue sur [a ; b], k entre f(a) et f(b) ⇒ ∃c ∈ [a ; b], f(c) = k
Conditions d’utilisation
a < b. Pour conclure à l’unicité de c, il faut en plus que f soit strictement monotone sur [a ; b].
À quoi elle sert
Le théorème établit l’existence d’un antécédent d’une valeur comprise entre les images des bornes.
Erreur fréquente
Conclure à une solution unique avec la seule continuité.
Rédaction : utiliser le TVI

Chapitre

Dérivation et convexité

Avant de dériver, vérifie le domaine et la dérivabilité. Pour une fonction composée, identifie clairement la fonction intérieure.

Dérivées usuelles

(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ; (1/x)′ = −1/x² ; (√x)′ = 1/(2√x)
Conditions d’utilisation
n ≥ 1. La formule de 1/x vaut pour x ≠ 0 ; celle de √x vaut pour x > 0.
À quoi elle sert
Ces dérivées sont les briques de base des calculs plus longs.
Erreur fréquente
Écrire (√x)′ = 1/2√x sans parenthèses : le dénominateur est 2√x.
Méthode : tableau de variation

Produit

(uv)′ = u′v + uv′
Conditions d’utilisation
u et v sont dérivables sur l’intervalle étudié.
À quoi elle sert
On dérive chaque facteur à tour de rôle en conservant l’autre.
Erreur fréquente
Écrire (uv)′ = u′v′.
Méthode : tableau de variation

Quotient

(u/v)′ = (u′v − uv′) / v²
Conditions d’utilisation
u et v sont dérivables et v ne s’annule pas sur l’intervalle étudié.
À quoi elle sert
Le carré au dénominateur est toujours positif lorsque le quotient est défini.
Erreur fréquente
Inverser l’ordre du numérateur ou oublier le carré du dénominateur.
Méthode : tableau de variation

Fonction composée

(v ∘ u)′ = u′ × (v′ ∘ u)
Conditions d’utilisation
u est dérivable et ses valeurs restent dans un intervalle où v est dérivable.
À quoi elle sert
On dérive la fonction extérieure en gardant u, puis on multiplie par u′.
Erreur fréquente
Oublier le facteur u′, par exemple dans la dérivée de eᵘ ou ln(u).
Méthode : tableau de variation

Dérivées trigonométriques

(sin x)′ = cos x ; (cos x)′ = −sin x
Conditions d’utilisation
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ ; les angles sont exprimés en radians.
À quoi elle sert
Ces dérivées permettent d’étudier variations et extrema de fonctions trigonométriques.
Erreur fréquente
Oublier le signe moins dans la dérivée de cos.
Méthode : tableau de variation

Convexité

f″ ≥ 0 ⇒ f convexe ; f″ ≤ 0 ⇒ f concave
Conditions d’utilisation
f est deux fois dérivable sur l’intervalle. Pour un point d’inflexion, la convexité doit effectivement changer.
À quoi elle sert
Le signe de la dérivée seconde décrit la courbure de la représentation graphique.
Erreur fréquente
Déclarer un point d’inflexion dès que f″(a) = 0, sans vérifier le changement de convexité.
Méthode : tableau de variation

Chapitre

Exponentielle et logarithme

L’exponentielle est définie sur ℝ et strictement croissante. Le logarithme népérien n’est défini que sur ]0 ; +∞[ et est lui aussi strictement croissant.

Propriétés de l’exponentielle

eᵃ⁺ᵇ = eᵃeᵇ ; e⁻ᵃ = 1/eᵃ ; eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ
Conditions d’utilisation
a et b sont des nombres réels.
À quoi elle sert
L’exponentielle transforme une somme en produit.
Erreur fréquente
Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ.
Méthode : logarithme

Dérivée d’une exponentielle composée

(eᵘ)′ = u′eᵘ
Conditions d’utilisation
u est dérivable sur l’intervalle étudié.
À quoi elle sert
La dérivée de la fonction intérieure multiplie l’exponentielle.
Erreur fréquente
Oublier u′ lorsque l’exposant n’est pas simplement x.
Méthode : tableau de variation

Limites usuelles de l’exponentielle

eˣ → 0 quand x → −∞ ; eˣ → +∞ quand x → +∞
Conditions d’utilisation
La variable x tend respectivement vers −∞ ou +∞. L’exponentielle reste strictement positive sur ℝ.
À quoi elle sert
Ces deux limites servent de repères avant une factorisation ou une croissance comparée.
Erreur fréquente
Écrire que eˣ atteint 0 : elle s’en approche lorsque x tend vers −∞, mais reste toujours positive.
Méthode : calculer une limite

Propriétés du logarithme

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ; ln(aⁿ) = n ln(a)
Conditions d’utilisation
a > 0 et b > 0. Pour ln(aⁿ), a > 0 et n est entier.
À quoi elle sert
Le logarithme transforme un produit en somme et un quotient en différence.
Erreur fréquente
Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b), ce qui est faux.
Méthode : logarithme

Dérivée d’un logarithme composé

(ln u)′ = u′ / u
Conditions d’utilisation
u est dérivable et strictement positive sur l’intervalle étudié.
À quoi elle sert
La condition u > 0 est à vérifier avant tout calcul.
Erreur fréquente
Dériver ln(u) sans étudier où u est positive.
Méthode : logarithme

Limites usuelles du logarithme

ln(x) → −∞ quand x → 0⁺ ; ln(x) → +∞ quand x → +∞
Conditions d’utilisation
x reste strictement positif. La notation 0⁺ signifie que x tend vers 0 par valeurs positives.
À quoi elle sert
Le domaine du logarithme impose une limite à droite en 0.
Erreur fréquente
Étudier ln(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives : la fonction n’y est pas définie.
Méthode : calculer une limite

Équations et inéquations

eᵘ = eᵛ ⇔ u = v ; ln(u) = ln(v) ⇔ u = v
Conditions d’utilisation
Pour le logarithme, u > 0 et v > 0. Pour les inéquations, le sens est conservé car exp et ln sont strictement croissantes.
À quoi elle sert
L’exponentielle et le logarithme sont des fonctions réciproques : ln(eˣ) = x et eˡⁿ⁽ˣ⁾ = x pour x > 0.
Erreur fréquente
Résoudre une équation logarithmique sans vérifier les conditions d’existence.
Méthode : logarithme

Chapitre

Intégrales et primitives

Une primitive n’est jamais unique : sur un même intervalle, deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

Primitives des puissances

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Conditions d’utilisation
n est un entier naturel. Plus généralement, pour α ∈ ℝ avec α ≠ −1, la formule xᵅ⁺¹/(α + 1) vaut sur un intervalle inclus dans ]0 ; +∞[.
À quoi elle sert
On augmente l’exposant de 1 puis on divise par le nouvel exposant.
Erreur fréquente
Appliquer cette formule à 1/x : le cas n = −1 donne ln(x) sur ]0 ; +∞[.
Méthode : calculer une intégrale

Primitives avec exponentielle ou logarithme

∫ u′eᵘ dx = eᵘ + C ; ∫ u′/u dx = ln|u| + C
Conditions d’utilisation
u est dérivable ; pour u′/u, u ne s’annule pas sur l’intervalle. Au programme, on travaille souvent sur un intervalle où u garde un signe.
À quoi elle sert
On reconnaît la dérivée de la fonction intérieure dans le facteur.
Erreur fréquente
Utiliser ln(u) si u peut être négative, sans travailler sur un intervalle adapté.
Méthode : calculer une intégrale

Primitives trigonométriques

∫ cos(x) dx = sin(x) + C ; ∫ sin(x) dx = −cos(x) + C
Conditions d’utilisation
Les formules sont valables sur ℝ, avec les angles exprimés en radians.
À quoi elle sert
Elles se lisent en sens inverse des dérivées de sinus et cosinus.
Erreur fréquente
Oublier le signe moins devant cos dans une primitive de sin.
Méthode : calculer une intégrale

Calcul par une primitive

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Conditions d’utilisation
f est continue sur [a ; b] et F est une primitive de f sur cet intervalle.
À quoi elle sert
On évalue la primitive à la borne supérieure puis à la borne inférieure.
Erreur fréquente
Inverser l’ordre et calculer F(a) − F(b).
Méthode : calculer une intégrale

Linéarité

∫ₐᵇ (λf + μg) = λ∫ₐᵇ f + μ∫ₐᵇ g
Conditions d’utilisation
f et g sont continues sur [a ; b] et λ, μ sont des réels.
À quoi elle sert
La somme et les facteurs constants peuvent être séparés avant de chercher les primitives.
Erreur fréquente
Croire que l’intégrale d’un produit est le produit des intégrales.
Méthode : calculer une intégrale

Intégration par parties

∫ₐᵇ u′v = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv′
Conditions d’utilisation
u et v sont dérivables sur [a ; b] et leurs dérivées sont continues sur cet intervalle.
À quoi elle sert
La formule transforme un produit en choisissant la fonction à dériver et celle à intégrer.
Erreur fréquente
Oublier le terme aux bornes [uv]ₐᵇ ou le signe moins.
Méthode : calculer une intégrale

Aire et valeur moyenne

Aire = ∫ₐᵇ f(x) dx si f ≥ 0 ; moyenne = (1/(b − a))∫ₐᵇ f(x) dx
Conditions d’utilisation
a < b et f est continue. La formule d’aire directe exige f ≥ 0 sur [a ; b].
À quoi elle sert
Si f change de signe, l’intégrale calcule une aire algébrique : les zones sous l’axe sont comptées négativement.
Erreur fréquente
Présenter une intégrale négative comme une aire géométrique négative.
Méthode : calculer une intégrale

Équations différentielles usuelles

y′ = ay ⇒ y(x) = Ceᵃˣ ; y′ = ay + b ⇒ y(x) = Ceᵃˣ − b/a
Conditions d’utilisation
C est une constante réelle. La deuxième formule suppose a ≠ 0 ; une condition initiale permet de déterminer C.
À quoi elle sert
Une solution particulière constante de y′ = ay + b est −b/a.
Erreur fréquente
Oublier la famille de solutions représentée par la constante C.
Méthode : primitives et équations différentielles

Chapitre

Probabilités

Nomme les événements avant de calculer. Une formule de probabilité n’a de sens que si les événements et les conditions sont clairement identifiés.

Probabilité conditionnelle

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)
Conditions d’utilisation
P(A) > 0.
À quoi elle sert
On mesure la probabilité de B lorsque l’on sait que A est réalisé.
Erreur fréquente
Confondre P_A(B) et P_B(A).
Méthode : probabilités conditionnelles

Intersection

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
Conditions d’utilisation
P(A) > 0 pour utiliser P_A(B). La formule symétrique avec B est également possible si P(B) > 0.
À quoi elle sert
Dans un arbre, on multiplie les probabilités le long d’un chemin.
Erreur fréquente
Additionner les probabilités des branches successives d’un même chemin.
Méthode : probabilités conditionnelles

Formule des probabilités totales

P(B) = Σ P(Aᵢ)P_Aᵢ(B)
Conditions d’utilisation
Les événements Aᵢ forment une partition de l’univers et les conditionnements utilisés ont une probabilité non nulle.
À quoi elle sert
On additionne les probabilités de tous les chemins incompatibles qui conduisent à B.
Erreur fréquente
Oublier un cas de la partition ou additionner des chemins qui ne mènent pas tous à B.
Méthode : probabilités conditionnelles

Indépendance

A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Conditions d’utilisation
L’indépendance doit être donnée, démontrée ou justifiée par le modèle.
À quoi elle sert
Quand P(A) > 0, l’indépendance équivaut aussi à P_A(B) = P(B).
Erreur fréquente
Déduire l’indépendance du seul fait que les événements sont différents ou incompatibles.
Méthode : probabilités conditionnelles

Loi binomiale

Si X suit B(n, p), alors P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Conditions d’utilisation
On répète n épreuves de Bernoulli indépendantes, avec n ∈ ℕ et la même probabilité de succès p ; k ∈ {0, …, n}.
À quoi elle sert
Le coefficient binomial compte les positions possibles des k succès.
Erreur fréquente
Utiliser une loi binomiale alors que les essais ne sont pas indépendants ou que p change.
Méthode : probabilités conditionnelles

Espérance, variance et écart type d’une loi binomiale

E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √[np(1 − p)]
Conditions d’utilisation
X suit la loi binomiale B(n, p).
À quoi elle sert
L’espérance donne le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions du schéma.
Erreur fréquente
Confondre variance et écart type : l’écart type est la racine carrée de la variance.
Méthode : probabilités conditionnelles

Chapitre

Géométrie dans l’espace

Précise toujours le repère. Les formules de coordonnées et de distances ci-dessous supposent un repère orthonormé lorsqu’il est indiqué.

Coordonnées d’un vecteur et colinéarité

AB⃗ = (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A)
Conditions d’utilisation
Les points sont repérés dans un même repère. Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre.
À quoi elle sert
Les coordonnées d’un vecteur se calculent « arrivée moins départ ».
Erreur fréquente
Inverser une seule coordonnée au lieu de conserver le même ordre pour x, y et z.
Méthode : géométrie dans l’espace

Produit scalaire

u⃗ · v⃗ = xx′ + yy′ + zz′
Conditions d’utilisation
Le repère est orthonormé et u⃗ = (x ; y ; z), v⃗ = (x′ ; y′ ; z′).
À quoi elle sert
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Erreur fréquente
Utiliser cette formule de coordonnées dans un repère qui n’est pas orthonormé.
Méthode : géométrie dans l’espace

Représentation paramétrique d’une droite

(x, y, z) = (x_A, y_A, z_A) + t(a, b, c), t ∈ ℝ
Conditions d’utilisation
La droite passe par A et a pour vecteur directeur non nul (a ; b ; c).
À quoi elle sert
Un point appartient à la droite si une même valeur de t vérifie les trois coordonnées.
Erreur fréquente
Trouver trois valeurs différentes de t et conclure tout de même que le point appartient à la droite.
Méthode : géométrie dans l’espace

Équation cartésienne d’un plan

ax + by + cz + d = 0
Conditions d’utilisation
Dans un repère orthonormé, le vecteur n⃗ = (a ; b ; c) est non nul et normal au plan.
À quoi elle sert
Pour déterminer d, on remplace x, y et z par les coordonnées d’un point connu du plan.
Erreur fréquente
Confondre un vecteur normal au plan avec un vecteur directeur d’une droite du plan.
Méthode : géométrie dans l’espace

Orthogonalité droite-plan

d ⟂ P ⇔ un vecteur directeur de d est colinéaire à un vecteur normal de P
Conditions d’utilisation
La droite et le plan sont définis, avec des vecteurs non nuls.
À quoi elle sert
La direction d’une droite perpendiculaire au plan est portée par une normale au plan.
Erreur fréquente
Chercher un produit scalaire nul entre le directeur de la droite et la normale du plan : cela prouverait un parallélisme avec le plan, pas une perpendicularité.
Méthode : géométrie dans l’espace

Distance d’un point à un plan — formule pratique

d(M, P) = |ax_M + by_M + cz_M + d| / √(a² + b² + c²)
Conditions d’utilisation
Le repère est orthonormé et P a pour équation ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0).
À quoi elle sert
Cette formule se déduit du projeté orthogonal de M sur le plan. La valeur absolue rend la distance positive et le dénominateur normalise le vecteur normal.
Erreur fréquente
Oublier la valeur absolue ou utiliser les coefficients d’une équation qui ne représente pas le plan.
Méthode : géométrie dans l’espace

Formules à ne pas utiliser sans vérifier les hypothèses

  • ln(u) et u′/u : vérifier le signe de u et l’intervalle de travail.
  • Quotient : vérifier que le dénominateur ne s’annule pas.
  • Loi binomiale : vérifier le nombre fixe d’essais, l’indépendance et la probabilité p constante.
  • Aire par intégrale : vérifier que la fonction est positive, ou découper l’intervalle selon son signe.
  • TVI et récurrence : citer toutes les hypothèses avant la conclusion.
  • Distance et produit scalaire en coordonnées : vérifier que le repère est orthonormé.

Comprendre la méthode

Les fiches méthodes détaillent les étapes et les justifications derrière les formules.

Voir les méthodes Terminale

Questions fréquentes

Faut-il apprendre toutes les formules par cœur ?

Il faut connaître les formules usuelles, mais surtout savoir vérifier leurs conditions d’utilisation. Une formule mémorisée sans ses hypothèses conduit facilement à une erreur de domaine, de signe ou de modèle.

Cette fiche remplace-t-elle le cours ?

Non. Elle sert à retrouver rapidement une formule et son principal point de vigilance. Les démonstrations, exemples détaillés et exercices restent nécessaires pour comprendre quand l’utiliser.

Comment enregistrer cette fiche en PDF ?

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Quelle formule choisir dans un exercice ?

Commence par nommer le chapitre, relever les données et vérifier les hypothèses. Si plusieurs formules semblent possibles, la question posée et les unités permettent souvent d’écarter les mauvaises pistes.