4. Trouver une solution particulière constante
Pour y’ = ay + b avec a ≠ 0, cherche y(x) = k. Alors y’ = 0 et 0 = ak + b, donc k = −b/a.
Chapitre de Terminale — méthode et exercices
Équations différentielles en Terminale : méthode complète
Apprends à reconnaître, résoudre et vérifier les équations de la forme y’ = ay et y’ = ay + b, puis à utiliser une condition initiale dans un problème d’évolution.
La priorité est de distinguer la famille de solutions générales de la solution unique sélectionnée par une valeur initiale.
1. Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
Une équation différentielle relie une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées. En Terminale, la notation y désigne la fonction cherchée et y’ sa dérivée.
Résoudre l’équation consiste à déterminer toutes les fonctions qui rendent l’égalité vraie sur l’intervalle étudié. Une condition comme y(0) = 5 sélectionne ensuite une seule fonction dans cette famille.
2 et 3. Résoudre les deux formes de référence
| Équation | Condition | Solution particulière constante | Solution générale |
|---|---|---|---|
| y’ = ay | a est un réel | 0 | y(x) = Ceᵃˣ, C ∈ ℝ |
| y’ = ay + b | a ≠ 0 | −b/a | y(x) = −b/a + Ceᵃˣ, C ∈ ℝ |
Pourquoi ajouter Ceᵃˣ ?
Si yₚ est une solution particulière, la différence y − yₚ vérifie l’équation homogène z’ = az. Elle est donc de la forme Ceᵃˣ.
5 et 7. Utiliser une condition initiale
Si y(x) = −b/a + Ceᵃˣ et y(x₀) = y₀, on remplace x par x₀ et y(x₀) par y₀ :
y₀ = −b/a + C e^(a x₀)
On résout cette équation pour C. Une écriture directe utile est y(x) = −b/a + (y₀ + b/a)e^(a(x − x₀)).
6. Vérifier qu’une fonction est solution
- 1Préciser l’intervalle sur lequel la fonction est définie et dérivable.
- 2Calculer sa dérivée avec soin.
- 3Calculer séparément le membre droit ay ou ay + b.
- 4Comparer les expressions pour tout x de l’intervalle, puis vérifier la condition initiale si elle existe.
8. Étudier le comportement d’une solution
Dans y(x) = −b/a + Ceᵃˣ, le nombre −b/a est l’état d’équilibre. Si a < 0, eᵃˣ tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ : toute solution tend alors vers −b/a.
Si a > 0, le terme Ceᵃˣ peut croître en valeur absolue. Le sens de variation dépend aussi de C, puisque y’(x) = aCeᵃˣ et eᵃˣ est strictement positif.
9. Modéliser une évolution simple
L’équation décrit un modèle choisi pour la situation. Il faut identifier la grandeur, la variable, l’unité et la valeur initiale avant de calculer.
Température
T’ = −k(T − Tₑ) modélise un rapprochement vers une température d’équilibre Tₑ, avec k > 0.
Population
P’ = aP décrit une croissance ou une décroissance proportionnelle à la population dans un modèle simplifié.
Concentration
C’ = −kC + q peut représenter une élimination proportionnelle et un apport constant.
Autre évolution
Une quantité financière ou physique peut suivre le même modèle si les hypothèses du problème le justifient.
Quatre exercices corrigés progressifs
Exercice 1 — résolution directe
Résoudre y’ = −2y
Énoncé : Déterminer toutes les fonctions dérivables sur ℝ qui vérifient y’ = −2y.
Méthode
Reconnaître la forme y’ = ay avec a = −2.
Calculs
La famille attendue est y(x) = Ce⁻²ˣ.
C est une constante réelle quelconque.
Justification
Pour y(x) = Ce⁻²ˣ, on obtient y’(x) = −2Ce⁻²ˣ = −2y(x). Réciproquement, le résultat de cours donne toutes les solutions de cette forme.
Conclusion
Les solutions sur ℝ sont exactement les fonctions y(x) = Ce⁻²ˣ, avec C ∈ ℝ.
Exercice 2 — condition initiale
Résoudre y’ = 3y − 6 avec y(0) = 5
Énoncé : Déterminer la solution de l’équation différentielle qui vérifie la valeur initiale donnée.
Méthode
Trouver d’abord la solution générale de y’ = 3y − 6, puis utiliser y(0) = 5.
Calculs
La solution particulière constante vaut −b/a = −(−6)/3 = 2.
La solution générale est y(x) = 2 + Ce³ˣ.
y(0) = 2 + Ce⁰ = 2 + C = 5, donc C = 3.
Justification
La condition initiale fixe une seule valeur de C dans la famille générale. La fonction obtenue est bien dérivable sur ℝ.
Conclusion
L’unique solution vérifiant y(0) = 5 est y(x) = 2 + 3e³ˣ.
Exercice 3 — vérification
Vérifier une solution proposée
Énoncé : Montrer que f(x) = 4e⁻ˣ + 2 vérifie y’ = −y + 2 sur ℝ.
Méthode
Calculer f’, puis remplacer y par f dans le membre droit.
Calculs
f’(x) = −4e⁻ˣ.
−f(x) + 2 = −(4e⁻ˣ + 2) + 2 = −4e⁻ˣ.
Ainsi f’(x) = −f(x) + 2 pour tout réel x.
Justification
L’égalité est vérifiée sur tout ℝ, qui est bien l’intervalle de définition et de dérivabilité de f.
Conclusion
La fonction f est donc une solution de y’ = −y + 2 sur ℝ.
Exercice 4 — modélisation
Refroidissement vers la température ambiante
Énoncé : Pour t ≥ 0, la température T, en °C, d’un objet vérifie T’ = −0,25T + 5, où t est exprimé en heures. On donne T(0) = 80. Déterminer T(t), puis T(4).
Méthode
Résoudre l’équation y’ = ay + b, appliquer la condition initiale, puis interpréter la valeur calculée.
Calculs
Ici a = −0,25 et b = 5 ; la solution particulière constante vaut −b/a = 20.
T(t) = 20 + Ce⁻⁰·²⁵ᵗ.
T(0) = 20 + C = 80, donc C = 60.
T(4) = 20 + 60e⁻¹ ≈ 42,1.
Justification
La constante 20 correspond à l’état d’équilibre du modèle, car −0,25 × 20 + 5 = 0.
Conclusion
Selon ce modèle, T(t) = 20 + 60e⁻⁰·²⁵ᵗ et la température après 4 heures est d’environ 42,1 °C.
Fiche méthode
- 1. Identifier a et, s’il existe, b.
- 2. Écrire la solution générale adaptée.
- 3. Utiliser la condition initiale pour déterminer C.
- 4. Vérifier ou étudier la solution selon la question.
- 5. Conclure dans le contexte.
10. Erreurs fréquentes
- • Écrire une constante unique alors qu’aucune condition initiale n’est donnée.
- • Oublier le terme particulier −b/a dans l’équation y’ = ay + b.
- • Confondre eᵃˣ et aeˣ.
- • Déterminer C sans remplacer à la fois x et y(x) par les données initiales.
- • Vérifier seulement la condition initiale sans vérifier l’équation différentielle.
- • Conclure sur le comportement sans tenir compte du signe de a et de la constante C.
Checklist avant de rendre
- J’ai identifié la forme y’ = ay ou y’ = ay + b.
- Dans le second cas, j’ai vérifié que a ≠ 0.
- J’ai distingué une solution particulière de la solution générale.
- J’ai conservé une constante réelle C tant qu’aucune valeur initiale ne la fixe.
- J’ai remplacé correctement x₀ et y(x₀) pour déterminer C.
- Pour une vérification, j’ai calculé y’ puis comparé les deux membres.
- Ma conclusion répond au contexte et précise l’unité si nécessaire.
Ressources liées
Vérifie la distinction entre les deux formes
Deux questions du quiz Terminale portent sur les solutions générales et l’état d’équilibre.
Faire les questions associéesQuestions fréquentes
Quelle est la solution générale de y’ = ay ?
Pour un réel a, les solutions sur ℝ sont les fonctions y définies par y(x) = Ce^(ax), où C est une constante réelle.
Comment résoudre y’ = ay + b lorsque a est non nul ?
On repère la solution particulière constante −b/a. Toutes les solutions sont alors y(x) = −b/a + Ce^(ax), avec C réel.
À quoi sert une condition initiale ?
Elle sélectionne une seule solution dans la famille générale. On remplace x et y(x) par la valeur initiale donnée, puis on résout l’équation obtenue pour déterminer C.
Comment vérifier qu’une fonction est solution ?
On vérifie que la fonction est dérivable sur l’intervalle étudié, on calcule sa dérivée et on montre que l’égalité de l’équation différentielle est vraie pour tout x de cet intervalle.