Construire le raisonnement
Objectif, hypothèses, étapes logiques et conclusion.
Schémas de raisonnement — Terminale spécialité maths
Les démonstrations à connaître en Terminale spécialité maths
Cette page aide à choisir et construire un raisonnement. Elle ne prétend pas fournir une liste officielle à réciter : les exemples montrent des structures utiles à adapter aux données de chaque exercice.
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Commence par le verbe de la consigne. Il indique souvent la famille de raisonnement avant même le premier calcul.
| Objectif | Outil à envisager |
|---|---|
| Prouver une propriété pour tout entier | Récurrence |
| Montrer qu’une suite monte ou descend | Différence, quotient ou fonction associée |
| Déterminer les variations d’une fonction | Signe de la dérivée |
| Établir l’existence d’une solution | Continuité et TVI |
| Établir l’existence et l’unicité d’une solution | TVI pour l’existence, stricte monotonie pour l’unicité |
| Montrer qu’une fonction est convexe | Signe de la dérivée seconde |
| Prouver une indépendance | Comparer P(A ∩ B) et P(A)P(B) |
| Tester une appartenance | Substitution ou même paramètre |
| Tester colinéarité ou orthogonalité | Multiple ou produit scalaire |
| Justifier une limite | Transformation puis théorème adapté |
| Vérifier une primitive | Dériver l’expression proposée |
1. Démonstration par récurrence
Objectif : Établir qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n à partir d’un rang n₀.
Hypothèses nécessaires
- La propriété P(n) est formulée précisément.
- Le premier rang n₀ concerné est identifié.
- Dans l’hérédité, k est un entier arbitraire vérifiant k ≥ n₀.
Schéma logique
- 1Initialisation : vérifier directement P(n₀).
- 2Hérédité : supposer P(k) vraie pour un entier k ≥ n₀, puis démontrer P(k + 1).
- 3Conclusion : invoquer le principe de récurrence pour tous les entiers n ≥ n₀.
Exemple court
Si u₀ = 1 et uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2, on prouve uₙ ≤ 3. Au rang 0, 1 ≤ 3. Si uₖ ≤ 3, alors uₖ₊₁ ≤ (3 + 3)/2 = 3.
Rédaction type
La propriété est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire. D’après le principe de récurrence, uₙ ≤ 3 pour tout n ∈ ℕ.
Erreur fréquente : Écrire P(k + 1) dans l’hypothèse de récurrence : l’hypothèse porte uniquement sur P(k).
2. Montrer qu’une suite est monotone
Objectif : Déterminer si une suite est croissante ou décroissante sur les rangs étudiés.
Hypothèses nécessaires
- La suite est définie pour tous les rangs comparés.
- Pour utiliser uₙ₊₁/uₙ, les termes concernés sont strictement positifs.
- Pour une fonction associée uₙ = f(n), les variations de f sont établies sur un intervalle contenant les rangs.
Schéma logique
- 1Calculer uₙ₊₁ − uₙ et étudier son signe.
- 2Ou, si uₙ > 0, comparer uₙ₊₁/uₙ à 1.
- 3Ou étudier une fonction f telle que uₙ = f(n), si cette voie simplifie le problème.
- 4Conclure sur l’ensemble exact des rangs concernés.
Exemple court
Pour uₙ = 1/(n + 1), uₙ₊₁ − uₙ = −1/[(n + 1)(n + 2)] < 0 pour tout n ∈ ℕ. La suite est donc strictement décroissante.
Rédaction type
Pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ − uₙ < 0. On en déduit que la suite (uₙ) est strictement décroissante.
Erreur fréquente : Comparer le quotient à 1 sans avoir vérifié que les termes sont strictement positifs.
3. Justifier les variations d’une fonction
Objectif : Passer du calcul de f′ au sens de variation de f sur un intervalle.
Hypothèses nécessaires
- La fonction f est dérivable sur l’intervalle étudié.
- Le signe de f′ est déterminé sur tout cet intervalle.
Schéma logique
- 1Calculer et simplifier f′(x).
- 2Étudier le signe de f′, en factorisant si nécessaire.
- 3Relier f′ ≥ 0 à la croissance et f′ ≤ 0 à la décroissance.
- 4Indiquer les valeurs de f utiles dans le tableau.
Exemple court
Pour f(x) = x² − 4x + 1, f′(x) = 2x − 4. La dérivée est négative si x < 2 et positive si x > 2 : f décroît sur ]−∞ ; 2] puis croît sur [2 ; +∞[.
Rédaction type
La fonction f est dérivable sur ℝ. Le signe de f′ montre que f est décroissante sur ]−∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[.
Erreur fréquente : Déduire les variations du signe de f au lieu du signe de f′.
4. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
Objectif : Démontrer l’existence d’une solution à f(x) = k, puis son unicité si elle est demandée.
Hypothèses nécessaires
- La fonction f est continue sur un intervalle fermé [a ; b].
- La valeur k est comprise entre f(a) et f(b).
- Pour l’unicité, f est strictement monotone sur l’intervalle.
Schéma logique
- 1Établir la continuité sur [a ; b].
- 2Calculer f(a) et f(b), puis vérifier l’encadrement de k.
- 3Appliquer le TVI pour obtenir au moins une solution.
- 4Ajouter la stricte monotonie pour conclure à l’unicité.
Exemple court
Pour f(x) = x³ + x − 1 sur [0 ; 1], f est continue, f(0) = −1 et f(1) = 1. Il existe donc α ∈ [0 ; 1] tel que f(α) = 0. Comme f′(x) = 3x² + 1 > 0, cette solution est unique.
Rédaction type
Les hypothèses du TVI sont vérifiées : l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur [0 ; 1]. La stricte croissance de f assure son unicité.
Erreur fréquente : Dire que le TVI donne directement une solution unique : il donne l’existence, l’unicité exige un argument supplémentaire.
5. Montrer qu’une fonction est convexe
Objectif : Établir la convexité ou la concavité d’une fonction sur un intervalle.
Hypothèses nécessaires
- La fonction est deux fois dérivable sur l’intervalle étudié.
- Le signe de f″ est connu sur tout l’intervalle.
Schéma logique
- 1Calculer f″(x).
- 2Étudier son signe sur l’intervalle.
- 3Conclure : f″ ≥ 0 implique la convexité ; f″ ≤ 0 implique la concavité.
- 4Si f″ change de signe en a, conclure que la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse a.
Exemple court
Pour f(x) = eˣ + x², f″(x) = eˣ + 2 > 0 pour tout réel x. La fonction f est donc strictement convexe sur ℝ.
Rédaction type
Pour tout x ∈ ℝ, f″(x) > 0. La fonction f est donc strictement convexe sur ℝ.
Erreur fréquente : Utiliser le signe de f′ pour conclure à la convexité : ce signe décrit les variations de f, pas la courbure.
6. Prouver l’indépendance de deux événements
Objectif : Vérifier que la réalisation d’un événement ne modifie pas la probabilité de l’autre.
Hypothèses nécessaires
- Les probabilités P(A), P(B) et P(A ∩ B) sont connues ou calculables.
- Les événements sont définis dans le même univers probabilisé.
Schéma logique
- 1Calculer P(A ∩ B).
- 2Calculer séparément P(A)P(B).
- 3Comparer les deux valeurs.
- 4Conclure à l’indépendance si et seulement si elles sont égales.
Exemple court
On lance un dé équilibré. A = « obtenir un nombre pair » et B = « obtenir un multiple de 3 ». P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 et P(A ∩ B) = P({6}) = 1/6 = P(A)P(B). A et B sont indépendants.
Rédaction type
Comme P(A ∩ B) = P(A)P(B), les événements A et B sont indépendants.
Erreur fréquente : Confondre indépendance et incompatibilité : des événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont pas indépendants.
7. Montrer qu’un point appartient à une droite ou un plan
Objectif : Vérifier qu’un point satisfait toutes les contraintes définissant l’objet géométrique.
Hypothèses nécessaires
- Les coordonnées du point et une équation ou représentation de l’objet sont connues.
- Pour une droite paramétrée, une même valeur du paramètre doit convenir aux trois coordonnées.
Schéma logique
- 1Pour un plan, remplacer x, y et z dans son équation cartésienne.
- 2Pour une droite, écrire le système obtenu avec les coordonnées du point.
- 3Chercher une seule valeur du paramètre vérifiant toutes les lignes.
- 4Conclure explicitement à l’appartenance ou à la non-appartenance.
Exemple court
Le point A(2 ; 1 ; 0) vérifie 2 + 2 × 1 − 0 − 4 = 0. Il appartient donc au plan d’équation x + 2y − z − 4 = 0.
Rédaction type
Les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne du plan ; par conséquent, A appartient à ce plan.
Erreur fréquente : Trouver des valeurs différentes du paramètre dans les trois coordonnées d’une droite et conclure tout de même à l’appartenance.
8. Montrer que deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux
Objectif : Comparer les directions de deux vecteurs ou établir leur orthogonalité.
Hypothèses nécessaires
- Les vecteurs sont exprimés dans un même repère.
- Pour caractériser la colinéarité par v⃗ = λu⃗, le vecteur u⃗ est non nul ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
- La formule coordonnée du produit scalaire suppose un repère orthonormé.
Schéma logique
- 1Si u⃗ ≠ 0⃗, colinéarité : chercher un réel λ tel que v⃗ = λu⃗.
- 2Orthogonalité : calculer u⃗ · v⃗ dans un repère orthonormé.
- 3Conclure avec le vocabulaire géométrique adapté.
Exemple court
Les vecteurs u⃗ = (1 ; 2 ; −1) et v⃗ = (2 ; 4 ; −2) vérifient v⃗ = 2u⃗ : ils sont colinéaires. Dans un repère orthonormé, (1 ; 1 ; 0) · (1 ; −1 ; 2) = 0 : ces deux vecteurs sont orthogonaux.
Rédaction type
Il existe λ = 2 tel que v⃗ = λu⃗ ; les vecteurs sont donc colinéaires.
Erreur fréquente : Comparer séparément des quotients de coordonnées lorsqu’un dénominateur est nul ; l’écriture v⃗ = λu⃗ est plus sûre.
9. Justifier une limite
Objectif : Transformer une expression pour appliquer une limite usuelle ou une opération autorisée sur les limites.
Hypothèses nécessaires
- La borne étudiée est indiquée.
- L’expression est définie sur un voisinage épointé de la borne ; si la règle du quotient ne s’applique pas directement, l’expression est transformée.
- Aucune forme indéterminée n’est traitée comme un calcul ordinaire.
Schéma logique
- 1Identifier une éventuelle forme indéterminée.
- 2Factoriser, simplifier, encadrer ou utiliser une croissance comparée.
- 3Appliquer les règles sur les limites à l’expression transformée.
- 4Écrire la borne et la valeur dans la conclusion.
Exemple court
Quand x tend vers +∞, (3x² − x)/(x² + 1) = (3 − 1/x)/(1 + 1/x²). Les termes 1/x et 1/x² tendent vers 0, donc le quotient tend vers 3.
Rédaction type
Après factorisation par x² au numérateur et au dénominateur, les règles sur les limites donnent lim f(x) = 3 lorsque x tend vers +∞.
Erreur fréquente : Écrire ∞/∞ = 1 : il s’agit d’une forme indéterminée qu’il faut d’abord transformer.
10. Montrer qu’une expression est une primitive
Objectif : Vérifier qu’une fonction F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle.
Hypothèses nécessaires
- La fonction F est dérivable sur l’intervalle étudié.
- L’égalité F′(x) = f(x) est vérifiée pour tout x de cet intervalle.
Schéma logique
- 1Déterminer l’intervalle sur lequel F est dérivable.
- 2Calculer F′(x) en détaillant les règles utiles.
- 3Simplifier et comparer le résultat à f(x).
- 4Conclure sur l’intervalle exact.
Exemple court
Pour F(x) = x³/3 + eˣ et f(x) = x² + eˣ, on a F′(x) = x² + eˣ = f(x) pour tout x ∈ ℝ. F est donc une primitive de f sur ℝ.
Rédaction type
La fonction F est dérivable sur ℝ et F′ = f ; F est donc une primitive de f sur ℝ.
Erreur fréquente : Se contenter de reconnaître la forme sans dériver, ou oublier que toutes les primitives sont ensuite de la forme F + C sur un intervalle.
Checklist logique
- J’ai reformulé précisément ce qu’il faut démontrer.
- J’ai identifié les hypothèses données et celles qu’il faut établir.
- Chaque implication repose sur une propriété nommée ou un calcul visible.
- Je n’utilise pas la conclusion comme hypothèse.
- Les intervalles, rangs ou événements sont explicités.
- Ma conclusion reprend exactement l’objectif de départ.
Continuer selon l’objectif
Formuler la démonstration
Phrases utiles, hypothèses et conclusions adaptées à une copie.
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Retrouver les techniques détaillées pour chaque chapitre.
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Choisir les raisonnements dans un sujet mêlant plusieurs chapitres.
Voir les sujets type BacQuestions fréquentes
Existe-t-il une liste officielle de démonstrations à apprendre par cœur ?
Cette page ne présente pas une liste officielle imposée. Elle rassemble des schémas de raisonnement utiles pour comprendre et résoudre des exercices de Terminale et des sujets type Bac.
Faut-il mémoriser toutes les rédactions types ?
Il vaut mieux mémoriser la structure logique et les hypothèses à vérifier. La rédaction doit ensuite être adaptée aux fonctions, suites, événements et intervalles de l’exercice.
Quelle différence avec la page sur la rédaction au Bac Maths ?
La page rédaction explique comment formuler une justification. Cette page explique quel raisonnement construire selon l’objectif : récurrence, monotonie, existence, indépendance ou appartenance.
Le TVI prouve-t-il qu’une solution est unique ?
Non. Le TVI établit l’existence d’au moins une solution sous ses hypothèses. L’unicité demande par exemple de montrer que la fonction est strictement monotone sur l’intervalle.