5 points officiels
Exercice 1 — traversée en ferry
Probabilités conditionnelles, variables aléatoires, espérance, variance, moyenne d’échantillon et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Correction proposée par SprintMaths à partir du sujet officiel.
Partie A · questions 1 et 2
Compléter l’arbre et calculer la probabilité de réserver véhicule et cabine.
- Notion à reconnaître
- Arbre pondéré et intersection — une branche porte une probabilité conditionnelle et le chemin complet se calcule par produit
- Raisonnement
- On place P(V)=0,30, P(C|V)=0,80 et leurs complémentaires. Le chemin V puis C donne l’intersection.
Calculs utiles
P(non V)=0,70 ; P(non C|V)=0,20
P(V ∩ C)=0,30 × 0,80=0,24
Rédaction possible et résultat
La probabilité d’une cabine est donnée directement : P(C)=0,75. Sur la branche V, les poids sont 0,80 et 0,20 ; à la racine, 0,30 et 0,70.
P(V ∩ C)=0,24, soit 24 %.
Erreur fréquente
Additionner les probabilités le long d’une branche au lieu de les multiplier.
Partie A · questions 3 et 4
Calculer P(V|C) puis P(C|non V) et interpréter.
- Notion à reconnaître
- Probabilités conditionnelles — on connaît une intersection et la probabilité de l’événement conditionnant
- Raisonnement
- Pour la seconde valeur, on décompose C selon V et non V : P(non V ∩ C)=P(C)−P(V ∩ C).
Calculs utiles
P(V|C)=0,24/0,75=0,32
P(non V ∩ C)=0,75−0,24=0,51
P(C|non V)=0,51/0,70≈0,73
Rédaction possible et résultat
Par définition d’une probabilité conditionnelle, on divise l’intersection par la probabilité de la condition.
P(V|C)=0,32 et P(C|non V)≈0,73 : environ 73 % des familles sans véhicule réservent une cabine.
Erreur fréquente
Inverser P(V|C) et P(C|V), qui ne répondent pas à la même question.
Partie B · question 1
Vérifier l’espérance 96 et la variance 3 114 de X.
- Notion à reconnaître
- Loi d’une variable aléatoire — l’espérance est la moyenne pondérée et la variance se calcule avec E(X²)−E(X)²
- Raisonnement
- On utilise les quatre valeurs de la loi, sans oublier la valeur 0.
Calculs utiles
E(X)=70×0,06+100×0,51+170×0,24=96
E(X²)=70²×0,06+100²×0,51+170²×0,24=12 330
V(X)=12 330−96²=3 114
Rédaction possible et résultat
Les probabilités totalisent 1 ; on peut donc appliquer directement les formules de la loi finie.
E(X)=96 € et V(X)=3 114 €².
Erreur fréquente
Donner une variance en euros : son unité est ici l’euro carré.
Partie B · question 2
Modéliser la réduction de 40 %, puis calculer E(Z) et V(Z).
- Notion à reconnaître
- Transformation affine et indépendance — payer 60 % du total revient à multiplier X+Y par 0,6
- Raisonnement
- L’espérance est linéaire. Pour la variance, l’indépendance donne V(X+Y)=V(X)+V(Y), puis le facteur 0,6 est élevé au carré.
Calculs utiles
Z=0,6(X+Y)
E(Z)=0,6(96+104)=120
V(Z)=0,6²(3 114+1 686)=0,36×4 800=1 728
Rédaction possible et résultat
La remise de 40 % laisse 60 % du prix initial ; l’indépendance est utilisée uniquement pour additionner les variances.
E(Z)=120 € et V(Z)=1 728 €².
Erreur fréquente
Multiplier la variance par 0,6 au lieu de 0,6².
Partie B · question 3
Étudier la moyenne Mₙ et trouver le plus petit échantillon garanti à 85 %.
- Notion à reconnaître
- Moyenne de variables indépendantes et Bienaymé-Tchebychev — la moyenne conserve l’espérance et divise la variance par n
- Raisonnement
- L’intervalle ]114;126[ correspond à |Mₙ−120|<6. L’inégalité majore la probabilité complémentaire par V(Mₙ)/6².
Calculs utiles
E(Mₙ)=120 ; V(Mₙ)=1 728/n
P(|Mₙ−120|≥6)≤(1 728/n)/36=48/n
1−48/n≥0,85 ⇔ n≥320
Rédaction possible et résultat
Pour n=320, l’inégalité assure au moins 0,85 de probabilité d’obtenir une moyenne strictement comprise entre 114 € et 126 €.
Le plus petit entier est n=320 familles.
Erreur fréquente
Présenter 320 comme une probabilité exacte : c’est une garantie issue d’une borne.